form（フォーム）はカタカナで使われているような「投球フォーム」や「応募フォーム（application form）」といった使い方が可能です。
そのうえで英語のformは動詞でもよく使われ「形成する、生み出す、発生する」など、何かが形作られることの全般に対して広く使われています。
そこまで難しい単語ではありませんが、ひととおりの英語でのformの使い方を整理しています。
formの動詞での意味と使い方
formを動詞で使った場合には何かを作り出すこと全般なのでけっこう広い意味です。物体を作るだけに限りません。
まず何かを生み出すために一つになることで動詞で「結成する、形作る」を意味します。
Paul McCartney, John Lennon, George Harrison, and Pete Best formed the Beatles in 1960.
ポール・マッカートニー、ジョン・レノン、ジョージ・ハリスン、ピート・ベストが1960年にビートルズを結成した。
The basis of his book was formed by interviews with refugees.
彼の本の主な内容は難民へのインタビューでまとめられていた。
築く、設立する、生み出す
何かを「築く、設立する、生み出す」といった意味もあります。こちらも動詞です。
He was so scared, that he had trouble forming a sentence.
彼はとても怖かったので、文を生み出すのが難しかった。
英会話などでスラスラと会話できるようなレベルではなくビクビクしていて、文法的に正しい文をうまく作るのが難しかったといった状況です。
They formed a strong relationship over the years.
彼らは長年かけて強い関係を築いた。
発生する、生じる
徐々に現れてくることで動詞で「発生する、生じる」を表します。
A cloud formed above Mt. Fuji.
雲が富士山の上に生じた。
A crowd formed outside Justin Bieber’s hotel.
群衆がジャスティン・ビーバーのホテルの外に集まった。
名詞のフォーム
カタカナで「フォーム」といった場合には、野球のピッチャーなどの投球フォームといった使い方がありますが、英語でもこの意味で用いることができます。shapeみたいな意味です。
「前」を意味する「former」や「実行する」を表す「perform」とは語源が異なるので、似ていますが別の単語だと考えることができます。しかし他の惑星を地球化するといった意味の「terraform（テラフォーム）」は同じformから来ています。
Darvish’s throwing form has improved greatly.
ダルビッシュの投球フォームは大きく改善されている。
Frieza’s final form is the smallest.
フリーザの最終形態は最も小さい。
お問い合わせ・応募のフォーム
カタカナでは「応募フォーム」「お問い合わせフォーム」といった使い方がされますが、英語でもこの意味は大丈夫です。
I filled out an application form.
私は応募フォームに記入した。
You can enter the contest using an online form.
オンラインフォームを使ってコンテストに参加できます。
この場合のformは「形」という意味よりも製造で使う「型枠、流し型、鋳型」の意味から来ていると考えられます。
He made some forms to mold the plastic.
彼はプラスティックを型に入れて作る型枠を作った。
「応募フォーム」「お問い合わせフォーム」も発想は同じで、同じ型枠に埋めていくと同じフォーマットの文章ができあがっていくという意味で文章のひな型のような意味です。
in [no / any] way, shape, or form
これは何かを強調するときに「いかなる方法、形であろうとも」といった意味になります。特に「いかなる形、方法においても〇〇ではない」のように否定の文章で使われます。
文章全体で「no」を使うか、もしくは「not + any」で否定文を作るかです。
I did not break the law in any way, shape, or form!
私はいかなる形であっても、法を犯してはいなかった！
In no way, shape, or form are we in a romantic relationship!
いかなる形でも、我々は恋愛関係ではない！
表現にバリエーションがあり、決まった形はありません。fashionが入ってくるケース、wayやshapeがないケースなどさまざまです。
「shape」「form」「fashion」が好みで選ばれるといった感じです。
I did not break the law in any way, shape, form, or fashion!
In no way, shape, form, or fashion are we in a romantic relationship!
（同じ意味です）
グーグルのヒット数では「in no way, shape, or form」が530,000件とダントツで多いです。「fashion」が入ると46,000件と少なくなります。
