shootは銃や矢などを撃つことですが、何かが勢いよく動いたりするイメージもあります。shoot upやshoot downは拳銃やピストルの意味で使われているのか、それ以外の比喩的な意味で使われているのかで分けて考えてもいいのかもしれません。
shoot upは「（数値などが）急上昇する」といった意味があります。shoot downには「（提案などを）却下する」といった使い方があります。
スラング的な使い方もあるので、一通りのshoot upとshoot downの意味を例文にまとめています。shootそのものについては『shoot（シュート）とshot（ショット）の意味の違い』をご覧ください。
shoot upの意味と使い方
イメージとしてはshoot（シュート）は勢いがありますが、それにupがついているので上にあがっているイメージです。
活用はshootが原形で、過去形・過去分詞はともにshot（ショット）になります。
ニュースでは「急上昇する、急に成長する、急騰する」といった意味でよく登場します。後ろにtoを使って具体的な急上昇した後の数値や状態などを盛り込むことができます。
The number of visitors shot up to 900.
訪問者の数が900人に急増した。
Food prices shot up after the flood.
食べ物の価格が洪水の後で急騰した。
Her fame shot up to super-stardom after her song topped the charts.
曲がチャートの１位になった後で、彼女の名声はスーパースターの地位になった。
shot upはshoot upの過去形で「急上昇する、急に成長する、急騰する」の意味があります。撃つなので「撃ちまくる、射殺する」などの意味もあります。
撃ちまくる、乱射する
もう１つが「撃ちまくる」「撃ちまくって射殺する」の意味です。銃乱射事件などのニュースでは見かける表現です。
The mafia member was arrested for shooting up a bar.
マフィアのメンバーはバーで乱射して逮捕された。
An assassin shot up the car the governor was riding in.
暗殺者は知事の乗った車を撃ちまくった。
スラング：注射をする
スラングでは麻薬を注射するといった意味があります。注射するタイプに使います。
The government provides safe spaces for heroin addicts to shoot up.
政府はヘロインを打つ中毒者にセーフスペースを提供している。
Someone shot him up with an unknown drug at the party.
誰かがよくわからないドラッグをパーティーで彼に打った。
shoot downの意味と使い方
shoot downは撃って、下にdownさせることで、文字通りの意味では「撃ち落とす」です。銃であるとは限りません。
The enemy shot down his fighter jet over the ocean.
敵は彼の戦闘機を海上で撃墜した。
We have a system that can shoot down incoming missiles.
私たちは飛んでくるミサイルを撃墜できるシステムがある。
人間に使った場合には誰かを撃って殺すの意味でもとれます。撃って相手が地面にドサッと倒れるようなイメージです。
The crime boss was shot down outside his home.
犯罪組織のボスは自宅の外で撃たれた。
却下する
そこから「reject（却下する）」の意味でも使われます。通常、はやくて強い感じがします。
The government shot down his proposal to build a giant beaver statue downtown.
政府は市街地に大きなビーバーの像をたてる彼の提案を却下した。
I asked her to marry me but she shot me down.
私は彼女に求婚したが、彼女は断った。
