「the way」が道であり自分の通り道だと考えると、get out （出て行く）との組み合わせは文字通り解釈すると「進路からでていく」「進路から出ていけ」といった意味合いになります。
「邪魔なものをどかす、道を空ける、取り除く」といった意味合いで、大きな岩を動かすような物理的な動作だけではなく、「片づける」といった仕事や問題などの状況や人間に対しても使えます。
大きなイメージでは「邪魔なものを取り除く」ですが、個々の具体的な動作に落とし込んだ場合に、何を指しているか少し幅があります。
仕事などを片付ける
仕事や用事などに使うと「取り除く」でもいいですが「早く終わらせる（finish it early）」といった意味です。
日本語でも「仕事を片付ける」といった表現があるので同じ感覚だといえます。以下のように使います。
A: I know the project is due tomorrow, but I want to get it out of the way today.
このプロジェクトは明日が期日だと分かっているけど、今日中に（それを）やっておきたいんだ。
B: What else do you want to get out of the way today?
他に何か今日中にやっておきたいことはあるかい？
I finished the project early because I wanted to get it out of the way.
私はそのプロジェクトを早く終わらせた。なぜなら私は片付けたかったからだ。
（物を）どかす
邪魔な物体などがあった場合に使うと「どかす」といった意味になります。道・進路から「move it（動かせ）」といった意味です。
My car was blocking the gate so someone told me to get it out of the way.
私の車がゲートを塞いでいるので、誰かがどかすように教えてくれた。
（邪魔だから）どけ
怒鳴ったりされると命令になるので「（お前が）道をあけろ」「そこをどけ」といった意味です。
Get out of the way!
Get out of my way!
お前、邪魔だからそこをどけ！
このように全体の意味・イメージ・感覚として意味する内容は共通していますが個々の動作が違うという話です。
こういう表現をいちいち日本語でどれかな？ と置き換えていると、英会話でも文章を読む時でもスピードが追いつきません。
和訳する必要がないならば、英語のイメージでとらえたほうが速い感じがします。
get it(something) out of the way
get it out of the way（私がそれをどける）とget out of the way（私がどく・出ていく）は少し形は違いますが同じような意味です。主語の人が自ら出ていくのか、主語の人が何かを取り除くかの違いです。
すでに紹介したように「my way」になったりと少しバリエーションはあるかもしれません。
I got the cow out of the way of the train.
私は電車の進路から、牛をどかした。
I got out of the way of the train.
私は電車の進路からどいた。
