wave（ウェイブ）は一般的な「波」だと考えて問題ないと思いますが、海の波だけではなく日本語の「世間の波」や「波形」など比喩や形状としてさまざまなものに使われています。
surf（サーフ）は海岸に押し寄せる波やその波の先端の部分を指して使われます。surfing（サーフィン）として知られ、これもいろんなものに飛び移る行為を指して使います。
wakeは船が通った後にできる「引き波」の意味です。これも大きな事件の「余波」といった意味で使われることが多いです。
waveについては『wave（波・手を振る）の意味と使い方』に詳しくまとめているので、ここでは「surf」「wake」の使い方を中心にまとめています。
surf（サーフ）の意味と使い方
surfing（サーフィン）のもとになっている単語のsurfですが、波の中でも陸地に近づいている波、打ち寄せる波を指して使います。
大小はありますが次第に崩れていく波、打ち寄せる波の先端部分のことです。waveの一部がsurfだと考えることができます。
The sound of the surf relaxes her.
波の音が彼女をリラックスさせる。
An old bicycle washed up in the surf.
古い自転車が波で打ち上げられた。
surfの動詞での使い方
動詞で使うと「サーフィンをする、波乗りをする」です。
He likes to surf on weekends.
彼は週末にサーフィンをするのが好きだ。
She doesn’t surf as much as she used to.
彼女はかつてのようにうまく波にのれない。
He surfed on the largest waves of the year.
彼は今年で最も大きな波で波乗りをした。
カウチサーフィン・ネットサーフィン
そこからサーフィンをするかのように波を乗り換えていく行為、何かから何かに移動していく行為を指せます。
He spent all night channel surfing in front of the TV.
彼は一晩中、テレビの前でチャンネルサーフィンをして過ごした。
She couch surfed through France.
彼女はフランスでカウチサーフィンをした。
『カウチサーフィン（Wikipedia）』はcouch（いわゆるソファー）を飛び移るように次々と宿を変える行為で、宿は無料で提供してもらうものです。ヒッチハイクの宿版みたいなコミュニティーがあります。
ホームページをいろいろ見て回ることをネットサーフィンと呼んでいた時代がありました。最近はカタカナでも聞きませんが、英語でも似たような状況で90年代後半から00年代のネット用語になっています。
crowdsurfing（クラウドサーフィン）はパンク・ロック系のバンドがやる客席へのダイブです。
wakeの意味と使い方
wake（ウェイク）は船が通ったあとにできる波のことで、専門的には「航跡、航走波」や「引き波」といった用語が使われています。
The wake of the cruise ship caused the tiny boat to tip over.
クルーズ船の引き波が小さなボートの転覆を起こした。
He enjoys wakeboarding.
彼はウエイクボードを楽しむ。
ウエイクボードはボートに引っ張ってもらい、そのボートが作り出す波を使ってトリックなどをするマリンスポーツです。
wakeには「起きる」といった意味もあり、そこから日本でお通夜に近い儀式の名前にもなっていますが、これは別の語源の異なる単語です。
in the wake of
「in the wake of」はfollowingに近い意味で「～に続いて、～の余波で」となります。
何か重大な出来事があったあとの影響を表す言葉であって、単純に「ご飯を食べた後に、映画を見に行った」のようなただの時系列の描写には使いません。
In the wake of recent losses, Leicester City have sacked their manager.
最近の敗戦の影響で、レスターはマネージャーを解雇した。
In the wake of the terrorist attack, the mayor promised stronger security.
テロ攻撃のあとで、市長は警備をより強固にする約束をした。
Many public events have been cancelled in the wake of coronavirus.
コロナウイルスの後で、多くの公共のイベントがキャンセルされている。
In the wake of the global economic meltdown, many people lost thousands of dollars in the stock market.
世界的な経済破綻の余波で、多くの人々が数千ドルを株式市場で失った。
in one’s wake
in one’s wakeも同じ意味で「〜に続いて、〜の通ったあとに」といった意味になります。
The tornado left a lot of damage in its wake.
トルネードが通ったあとに多くの損害が残った。
