カタカナでもおなじみの「ダメージ（damage）」の使い方について、一通りまとめてみました。そこまで大きくカタカナとの違いはなく特に難しくはありません。
名詞では「ダメージ・損害・損傷」などの意味があり、動詞ではそのまま「ダメージを与える」の意味となります。
いくつか裁判用語としての「損害」などに専門的な使い方が見られる程度です。
damage（動詞）
damageは動詞で「損傷・ダメージを与える」の意味になります。一通り例文を書いてもらったので参考にしてください。
I damaged my watch during work.
仕事中に腕時計を傷つけてしまった。
物理的なダメージ以外にも評判などを傷つけることにも使えます。
This scandal will surely damage his career in politics.
このスキャンダルは確実に彼の政治キャリアにダメージを与えるだろう。
人に対しては使わない
基本的には動詞、形容詞、名詞のどれも人に対して直接は使いません。しかし身体のパーツには使えます。
〇 Working in a factory for many years damaged his lungs.
長年の工場での労働が彼の肺にダメージを与えた。
× Working in a factory for many years damaged him.
長年の工場での労働が彼にダメージを与えた。
人に対して怪我を負わせるようなことは「injure」が使えます。逆にいえばinjureは物には使いません。
The bomb injured many people.
爆弾が多くの人を負傷させた。
The bomb damaged many cars.
爆弾が多くの車に損害を与えた。
× The bomb injured many cars.
（この使い方をしない）
× The bomb damaged many people.
（この使い方をしない）
damage（名詞）
名詞ではそのまま「損害・ダメージ」となります。
There is a little damage on my smartphone screen.
スマホの画面に少しダメージがある。
I got this shirt on sale because it had some slight damage.
特価でこのシャツを手に入れたよ。なぜならわずかに痛んでたから。
The hurricane resulted in massive damage to the city.
ハリケーンは街に巨大なダメージをもたらした。
Luckily, my insurance covered tornado damage.
幸いなことに、私の保険が竜巻の被害をカバーした。
Seko is also in charge of nuclear damage compensation and decommissioning issues.
世耕大臣はまた原発被害の補償と原発の使用停止問題の担当者でもある。
His insurance policy covers damage from fire and earthquakes.
彼の保険の規約は火事と地震の被害をカバーしている。
これも基本的には人間に対しては使わない表現になります。
He got a lot of damage(s) from breaking up with his girlfriend.
（彼は彼女と別れて大きなダメージを受けた）
普通は上のような言い方をしません。ネイティブスピーカーのスティーブは、上のような文章を読むと「金銭的に被害を受けた」と受け止めるだろうといっています。
He was hurt from breaking up with his girlfriend.
彼女と別れて彼は傷ついた。
精神的なダメージは「hurt」などの表現するのが一般的です。
ドラゴンクエストのようなRPG、ゲームなどで「30のダメージを受けた」などは微妙なところですが、鎧や盾がダメージを受けたと解釈するならばOKです。
damaged（形容詞）
形容詞では「damaged」となり「損傷した、傷んだ、壊れた」などの意味があります。
My package was damaged when it arrived.
私の荷物は到着した時には損傷していた。
この使い方はあまりカタカナにはなじみがなく「ダメージヘア用のシャンプー」といった英語にすると不可解な言葉が生まれます。
ダメージヘアは「髪を攻撃する」となり、本来は「ダメージド・ヘア」として「傷んだ髪用のシャンプー」とするのが英語としては正しいです。
This shampoo is for damaged hair.
このシャンプーは傷んだ髪用だ。
傷んだジーンズなどは「torn jeans」などが一般的です。しかしdamaged jeansも一般的ではないものの使う人もいるかもしれません。
His torn jeans are very cool.
彼の痛んだジーンズはとてもクールだ。
この場合のtornはtear（～を引き裂く、切り傷を作る）の過去分詞にあたります。
またdamagedは動詞の過去分詞でもあるため、単なる受動態・受け身か形容詞として使われているかは文脈で判断するしかありません。
My iPhone was damaged.
「私のiPhoneはダメージを与えられた（受動態）」または「私のiPhoneは傷んでいた」のどちらの解釈も可能です。
in damages（損害賠償）
裁判を扱ったニュースでは「in damages」で「損害の賠償として」といった意味で登場します。
He is suing me for $10,000 in damages.
彼は私に１万ドルの損害賠償で訴えている。
The judge awarded the plaintiff $2 million in damages.
裁判官は原告に対して、200万ドルの損害賠償を認めた。
awardには賞・アワードの意味のほかに、動詞で「裁判で賠償金の支払いを裁定する」の意味があります。
「punitive damages（懲罰的損害賠償金）」という言葉もたまに登場して、懲罰的な賠償を意味します。通常の物体の損害金額に加えて、懲罰の意味が加わり値段があがります。
The judge awarded the plaintiff $100 and $20,000 in punitive damages.
裁判官は原告に対して、100ドルの賠償と、２万ドルの懲罰的損害賠償を認めた。
