engage（エンゲージ）は「婚約する」の意味でカタカナでよく使われていますが、英語でも最も使用頻度が高いのは同様に「婚約する、結婚の約束をする」です。
それ以外にも辞書にはいっぱい意味がありますが、ネイティブスピーカーと確認してその中でも使うものだけをピックアップしてみました。
軍事用語で「交戦する、戦闘する」といった意味や、何かの活動などに「参加する」といった意味はまだ見かける部類です。
engageの意味と使い方
engage（エンゲージ）といえば「婚約する」の意味が広く知られています。英語でもこの「婚約」の意味での使い方が最も一般的で、それ以外の意味ではちょっと登場するといった程度です。
言葉のイメージとしては（誓いや誓約などにより）２つのものががっちり向き合ったり、噛み合ったりすることを連想させるそうです。これが人間同士ならば婚約の意味になります。
発音は【engéidʒ】です。
婚約する、結婚の約束をする
結婚の約束をすることで、英語でもengageはこの意味で最もよく使われます。
以下のような表現のバリエーションがあります。基本的にはbe engagedの形で使われることが多いです。
She is engaged to Tom.
She is engaged with Tom.
She and Tom are engaged.
彼女はトムと婚約している。
もし「婚約した」のように動作・状態の変化を表す場合にはget engagedの形が一般的です。
She got engaged to Tom.
彼女はトムと婚約した。
She will get engaged to Tom
彼女はトムと婚約するだろう。
動詞のengageを直接使う方法はあまり見かけませんが、ひょっとしたら言う人もいるかもしれません。次に紹介する他の意味と混同して不明瞭な文章になります。
She engaged Tom.
（やや不明瞭な文章）
プロポーズ（propose）も英語独自の意味があるので合わせてご覧ください。
交戦する、戦闘する
２つのものが向き合うことは戦争であれば「交戦する」といった意味になります。この使い方もまだ見かける部類です。
The Navy engaged the terrorists on the shore.
海軍は海岸でテロリストと交戦した。
Police engaged the protesters after they began breaking windows.
警察は、反対者たちが窓ガラスを割り始めた後で交戦状態に入った。
まれに軍隊ではなくインターネット上の口論などにも使われます。ただこれは軍隊の交戦・戦闘に見立てた表現であり、ちょっとフォーマルな感じがあります。
トランプ大統領はツイッターで特定の相手を選んでやり返しているといった説明をホワイトハウス報道官のサラ・サンダースが説明していました。カタカナの「ネットでバトルする」よりはもう少し堅い場面で使われます。
Sometimes he chooses to specifically engage and punch back and sometimes he doesn’t.
時々彼（トランプ大統領）は明確に交戦してやり返す相手を選び、時々それをやらないこともあります。
このように問題・課題などをやや比喩的にとらえて戦闘にみたててengageを使うケースも見られます。
参加する・関わる
何かに没頭するイメージで「participate（参加する）」の意味でも使われることがあります。ただこれが使われるのは「活動・アクティビティ」が多く、仕事にはあまり使いません。
けっこう熱心に参加しているような印象で伝わります。
I am engaged in several clubs at the community center.
コミュニティセンターでいくつかのクラブに参加している。
I was so engaged in my painting that I lost track of time.
私はとても絵に没頭していたので、時間が過ぎるのを忘れた。
辞書で調べると「従事する」といった訳がでますが、基本的に仕事には使わない表現です。
She is engaged at Honda.
（仕事にはあまり使わない）
ギアなどをかみ合わせる・発進
まれにギアなどをかみ合わせるといった意味で使われることがあります。２つのモノが向き合うという意味で通じる部分もあります。
けっこう専門用語の感じがありますが日常会話では以下のように使えます。
Don’t forget to engage the handbrake.
サイドブレーキを使うのを忘れないで。
テレビシリーズの『スター・トレック』でピカード艦長がエンタープライズ号（宇宙船）を発進させる時によく「Engage!」と言っているシーンが有名です。
これは専門用語で乗り物のギアをかみ合わせるような動作を指しており、ギアをかみ合わせることで「発進！」の意味になっています。
ちなみにピカード艦長はふいに最強の敵であるボーグと宇宙で遭遇してしまった時に通信で「ボーグと交戦状態に入った」と本部に伝えるように指示をしますが、その際にも「engage」を使っています。これは「交戦する」の意味です。
