基本的にぜんぜん違う言葉ですが、１字違いで似ているのでややこしい単語だと言えます。意味も微妙に似ている感じもします。
当然、発音も似てくるので違いも含めて、それぞれの単語の意味を取り上げてみたいと思います。カタカナの表記の限界を感じさせる英単語だといえます。
発音・読み方については音声ファイルを置いておくので実際に聴いて確認してください。非常に似ています。
adopt【ədɑ́pt】or【ədɔ́pt】
adapt【ədǽpt】
adept【ədépt】
adoptの意味と使い方
adoptは「採択する、可決する、～を選ぶ」の意味があります。ベースになる考えは「アイデア、人、ペットなどを、他の場所から持ってくること（そしてそれを自分のものとして使う）」です。
発音は【ədɑ́pt（ədɔ́pt）】ですがカタカナにすると「アダプト」が近くなってしまいます。
Governments are beginning to adopt cleaner energy sources.
政府はよりクリーンなエネルギー源を採用し始めている。
The company adopted a JIT production system.
その会社はジャスト・イン・タイムの生産方式を採用した。
Shiseido adopts English as official language
資生堂が英語を公用語へ
直接は関係ありませんがジャスト・イン・タイム（JIT/ジット）はトヨタ方式、トヨタのカンバン方式として世界的に有名な生産管理の方法です。在庫を持たず「必要な物を、必要な時に、必要な量だけ生産」することで効率化した生産方法です。
adopt（養子）
また「～を養子、養女にする」の意味でも使われます。ペットに使うと「里親になる、里親を引き受ける」といった感じの訳がわかりやすいでしょうか。
日本語訳にすると「採用する、～を選ぶ」で意味がぜんぜん違う言葉が並びますが、ベースの考え方「よその場所からもってきたものを使う」をイメージすると共通する要素がわかりやすいかもしれません。
We adopted a child from Africa.
私たちはアフリカから子どもを養子縁組した。
We prefer adopting animals to buying them from a pet store.
私達は動物をペットショップで買うより、里親になるほうが好きだ。
アンジェリーナ・ジョリーとブラッド・ピットの離婚を扱ったニュースでも養子の意味で登場しています。
The power couple have been together for ten years and married for two years raising three adopted kids and three biological ones.
このパワーカップルは10年間を共にし、結婚生活を２年送った。３人の養子と３人の実子を育てながらだ。
この場合にはアンジェリーナ・ジョリーがadoptive mother（養母）にあたり、子供たちがadopted child（養子）となります。
adoption（採用・養子縁組）
里親・養子縁組を意味する名詞はadoption【ədɑ́pʃən】です。
Neco Republic, a chain of cat cafes where the cats are all rescues available for adoption, is opening a new branch in Tokyo’s Nakano ward.
保護されて里親を探している猫ばかりを集めた猫カフェチェーンのネコリパブリックが、東京・中野区に支店をオープンしている。
The shelter, which is aimed at eliminating the need for authorities to put down any animals, will include an interaction area and a hall for adoption events.
そのシェルターは県の担当局が動物を殺処分する必要を撲滅する狙いで、動物との交流エリアや里親イベントのホールなどが含まれている。
adaptの意味と使い方
一字違いの似た言葉です。こちらは「順応する、適応する」といった意味の言葉です。何かの環境などに合わせることです。
発音は【ədǽpt】でこれもカタカナにしてしまうと「アダプト」です。正確にはアとエの間ぐらいの英語特有の音で「アデェプト」ぐらいが近くなります。
パソコンなどのアダプターも英語ではadapterなどの名称なので、こちらのadaptから来る言葉です。流れ来る電気を製品などに合わせた形で出力する、形状の違うも同士をつなぐ場合に形を適応させるといった役割なのでadapter（アダプター）です。
Cats can adapt to any environment.
猫はどのような環境にも適応できる。
I couldn’t adapt to the new job, so I quit.
新しい仕事に順応できなかったので、仕事をやめた。
また人間や動物だけが主語になるわけではなく、原作があるような映画や、監督が違うさまざまなバージョンがある同一タイトル・テーマの作品などにも用いられる言葉です。
Anne of Green Gables has been adapted to numerous movies and miniseries.
『赤毛のアン（邦題）』は多くの映画や連続ドラマになっている。
adaptation（適応・順応）
これは名詞の「adaptation（適応、順応、改作、翻案）」にも当てはまります。発音は【æ̀dæptéiʃən】です。
ニュースでは人気のゲーム「アングリーバード」の映画版がヒットしたことを伝える記事で登場しています。
アングリーバードは元々はスマホのゲームですが、それにストーリーをつけた映画版がヒットしたことを伝えています。ここでは元がゲームですが、映画に形を変えた、順応したと考えることができます。
The movie adaptation of the popular smartphone game franchise Angry Birds has made a huge impact in its opening week knocking Marvel-Disney’s Captain America out of the top spot.
人気のスマートフォンゲームシリーズ「アングリーバード」を脚色した映画が、公開はじめの週で大きな衝撃を与えている。ディズニーとマーベルの「キャプテン・アメリカ」を打ち負かし首位になったのだ。
A live-action adaptation of “Rurouni Kenshin,” the popular manga also known as “Samurai X” overseas, was released nationwide on 13 September.
海外では「Samurai X」としても知られる人気漫画の実写映画「るろうに剣心」が9月13日より全国で公開された。
「るろうに剣心」は原作が漫画ですが、それが佐藤健主演の映画に順応した、適応したと考えることができる表現です。
他にもフランスに移民した外国の子供たちが参加して、初歩からフランス語を学ぶ特別なクラスを「adaptation class（適応クラス）」といった名称で呼んでいるニュースがありました。
宿泊させるといった宿泊施設、ホテル関連で使われるaccommodateにも近い意味があります。
adeptの意味と使い方
もう１つ似た言葉があり主に形容詞で熟練した、熟達した、巧みなといった意味で使われるのがadeptです。「熟練者」や「名人」といった意訳で名詞としても使われることがあります。
発音は形容詞が【ədépt】です。名詞の場合は【ǽdept】でアクセントの位置が変わっています。
He is adept at fixing computers.
彼はコンピューターの修理に熟練している。
She is adept at selling our product.
彼女は私たちの製品を売るのに熟練している。
