fosterは「育てる」の意味ではありますが、子どもを預かって育てる、養育するといった言葉なので、普通に実子を育てている場合は適さない言葉です。
また形のないものを「はぐくむ、発展させる」といった使い方もあり、雰囲気や関係などに対して使われます。
ここでは一般的なfosterの使い方を例文にまとめました。関連する用語も多いのであわせてリンク先のページもご覧ください。
動詞でのfosterの意味と使い方
fosterは他人の子どもや動物を「（里子として）育てる、養育する」の意味で使われることが多いです。
孤児院やアニマルシェルターから引き取って育てるような養育を連想させます。foster全般にいえるのはなんらかの事情により一時的な状態を指して使われます。
I decided to foster a kitten.
私は子猫を育てることを決めた。
After her parents died she was fostered by her aunt.
彼女の両親が亡くなったあと、彼女は叔母に育てられた。
もしそれが単に動物を飼っている程度ならばhaveで十分に伝わります。
fosterとadoptの違い
またfoster（里子として育てる）とadopt（養子・養女にする）は日本語の違いと同じだと考えても問題ないと思います。法的な手続きを行い親権を持った親になる行為がadoptであり、あくまでなんらかの理由で一時的に育てているのがfosterです。foster motherは乳母や育ての親といった訳がされます。
先の例文では、両親が亡くなった後に叔母に育てられていますが、特に叔母が法的な親であるわけではなく単なる叔母です。養子にすれば法的な親になります。
This is my foster mother, Diane.
こちらは育ての母親のダイアンです。
動物の場合でも同じで、fosterはアニマルシェルターが手一杯で代わりに一時的に育てるような行為です。しかし、育てている猫に里親が見つかれば、その子猫は里親に引き取られ（adopt）ることになります。
発展させる
fosterには形・実体のない何かを発展させることで、「～を発展させる、～を助長する、～をはぐくむ」の意味もあります。developに近い意味です。
In my position as Trade Minister, I hope to foster better relations with China.
経済産業大臣としての私のポジションでは、中国とのより良い関係を発展させたいと願っている。
We are trying to foster more environmentally-friendly habits in the city.
私たちは都市でのもっと環境に優しい習慣を促進させようとしている。
The president fostered good relations with Russia.
大統領はロシアとの友好関係を発展させた。
The teacher fostered an interest in science among her students.
先生は生徒の間で科学に対しての興味をはぐくんだ。
How can we foster a welcoming atmosphere?
歓迎するような雰囲気をどうつくろうか？
foster care / foster home
foster careあるいはfoster homeとは共に児童養護施設、養家、里子を預かる家などを指します。孤児院（orphanage）は国などが運営する大きな施設だったりするので、少し意味合いが違います。
He was put in foster care(home) after his parents were arrested.
彼は両親が逮捕された後に、フォスターケアに入れられた。
Social workers put her in foster care(home).
ソーシャルワーカーは彼女をフォスターホームに入れた。
After my parents died, I was put in foster care.
両親が他界したあと、私は養護施設に入れられた。
foster careは育てられる場所や状況、環境を指すことがあるのでもう少し意味が広いです。
The government announced new laws regarding foster care.
政府は里親に関する新しい法律を発表した。
