take offenseは「怒る、立腹する、気分を悪くする」の意味です。offense（オフェンス）には攻撃のほかにも侮辱、無礼といった意味もあるので「侮辱として受け止める」といった意味合いです。
似たような表現で「take the offense」があり、こちらは「攻撃にまわる、攻勢に出る」というまったく異なる意味になってしまうので注意が必要です。
no offenseは英会話でもよく使われる表現で「悪気はないんだけど」「怒らせるつもりではないけど」と事前に断りを入れる表現です。その返事として「None taken（気にしないよ）」も一般的です。
『offensive（オフェンシブ） / offend（オフェンド） / offense（オフェンス）の意味と使い方』もあわせてご覧くださ。
take offenseの意味と使い方
take offenseは「怒る、立腹する、腹を立てる、感情を害する」の意味です。「offense（攻撃、侮辱、無礼）として受け取る、攻撃と感じる」みたいな意味でのtakeです。
She took offense at my joke.
彼女は私のジョークを侮辱と受け止めた。
If you don’t say thanks, people might take offense.
もしありがとうを言わないなら、人々は怒るかもしれない。
I hope you don’t take offense, but I must go home now.
あなたが気を悪くしないことを望むけど、もう家に帰らないといけない。
She took offense at his racist joke.
彼女は彼の差別的なジョークに気分を害した。
takeは「自分の意志で受け取る」ようなことですが、2通りの意味で解釈できる点がこの似たような表現につながります。
take the offense（攻撃に出る）
theのあるなしで意味が大きく変わってしまいます。
take the offenseは「攻撃をとる、攻撃にまわる、攻勢に出る」といった意味です。攻撃側にまわる、攻撃を選択することです。
He blocked his opponent’s punch and then took the offense.
彼は敵のパンチをブロックして、攻撃にまわった。
It was an important negotiation so he took the offense.
重要な交渉だったので彼は攻勢に出た。
その他の「攻勢に出る」
take the offense（攻撃をとる、攻撃にまわる、攻勢に出る）には以下のような類似表現があります。
Manchester United took the offensive for most of the match.
マンチェスター・ユナイテッドは試合の大半で攻勢だった。
She waited for the right time to go on the offense.
彼女は攻撃に出る好機を待っていた。
When the economy improves, many investors will go on the offensive.
経済が改善されたとき、多くの投資家は攻勢に出るだろう。
no offenseの意味と使い方
no offenseは英会話で使う表現で「悪気はないんだけど」「怒らせるつもりではないけど」「悪く言うつもりはないんだけど」と断りを入れる場合に用います。
これも意味としてはoffense（攻撃、侮辱、無礼）ではないんだよと断りを入れている感じです。
No offense, but I must go home now.
悪く思わないでほしいけれど、家に帰らないといけない。
No offense, but that shirt doesn’t look good on you.
怒らせるつもりではないけど、そのシャツは似合ってないよね。
I mean no offense.
悪気はないんだけどね。
None taken（気にしないよ）
この「no offense」に対しての返事としては「None taken」がよく使われます。「気にしないよ、別にいいよ、大丈夫だよ」といった意味合いです。
この「No offense」と、その返事である「None taken（気にしてないよ/そうは受け止めてないよ）」は決まり文句のようによく使われるので覚えておくと便利かもしれません。
A：I don’t like this food. No offense.
A：この食べ物が好きじゃないんだ。悪気はないんだけど。
B：None taken.
B：別にいいよ。
A：No offense, but you’re kind of fat.
A：悪気はないんだけど、太っている感じだよね。
B：None taken.
B：（悪気のことは）気にしてないよ。
