それぞれ何かを求めること、要求する、必要とするの類似表現になりますが、使い方や意味、ニュアンスなどが少し異なります。
ネイティブスピーカーに書いてもらった例文を用意しているので参考にしてください。
全体的には別に無理して使う理由もあまりない言葉といった印象があります。
requireの意味と使い方
require は「～を必要とする、～を要求する」の意味で言い換えると「need」と考えたほうがわかりやすいかもしれません。
needをよりフォーマルにした言葉なので、役所の書類など堅い文書によく登場します。
発音は【rikwáiər】なのでリクワイアでしょうか。音声ファイルの発音を参考にしてください。
This plan requires a team of 10 people.
=This plan needs a team of 10 people.
この計画は10人の人々を必要とする。
上の例文だとどちらも同じ意味になりますが、上のrequireを使ったほうがよりフォーマルな響きになります。
needと置き換えても問題ないケースが大半ですが、状況によってはフォーマルすぎて合わないケースもあります。
I require something to drink.
（フォーマルすぎてロボットが話しているみたい）
I need something to drink.
何か飲み物が必要だ。
これらは文法の問題ではなく、状況や雰囲気による自然さの問題になってきます。
require 人 to do
後ろに「人」などを置いて「人に～するように要求する」といった意味になります。これもneedと同じ使い方なので、置き換えてもいいかもしれません。
We require(= need) Tom to solve the problem.
その問題を解決するためにトムを必要としている。
This company requires(= needs）a new accountant to replace the last one.
この会社は前任者との交代のために新しい会計士を必要としている。
これらはneedでも表現可能なので、requireを使う必要があるのかといえば、状況によります。
needとの置き換えでいえば「need to」と「require to」もいちおう置き換え可能です。
It requires(=needs）to be washed every day.
毎日、洗うことが要求される・必要だ。
I require(need) to walk every day.
毎日歩くことが必要だ。
しかしカナダ人のスティーブなどは「I require to walk every day.」などけっこう奇妙に感じる文章だそうで、特別な理由がないならばシンプルにneedではないかといった意見になります。
requirement（名詞）の意味
名詞では「requirement」となり、必要なもの、必需品、必要な条件、などの意味で使われます。同様にやや堅い文章やフォーマルな状況などに登場します。
She meets the requirements to join the army.
彼女は軍入隊の必要条件を満たしている。
実際のアプリ内のニュースでは建築用の自動化が進んでいるといった文脈で登場しました。工場の自動化と違って建築現場の自動化・ロボット化は工事が終わったら別の場所に移動しないといけない点で異なります。
Unlike factory systems that are stationary, construction requires machinery that can move around and be programmed to adapt to a variety of different conditions and requirements
工場のシステムが固定しているのと違って、建設では機械が動かせることが要求され、さまざまな異なる環境と必要な条件に適応できるように要求される。
この「必要条件を満たす」の使い方については以下の記事に関連用語と共にまとめてます。
requestの意味と使い方
カタカナにもなっているrequest（リクエスト）は言い換えると「ask for something」で何かを頼むことです。
requireが「（自分が）必要としている」のに対して、requestは「（誰かに）頼む、求める、要求する」なので、表現の中心や相手がいるかどうかの視点が少し異なります。
I requested a raise from my boss.
私は上司に昇給を頼んだ。
My email provider requested that I change my password.
メールのプロバイダーがパスワードを変更するように求めた。
requestはそのまま名詞でも使えます。リクエストメントのような単語はありません。
Future characters will be added by player requests.
将来的なキャラはプレイヤーのリクエストにより追加されるだろう。
inquireの意味と使い方
inquireは２つの意味があって「尋ねる、聞く、質問する」と「調べる、調査する」です。どちらかといえば「情報（information）」に焦点をあてた表現になります。
昔は「inquire」と「enquire」の２種類の単語があって使い分けされていたそうです。
inquire（調査する）
= investigate
enquire （尋ねる）
= ask a question
いつの間にか2つの単語が統合されて「inquire」に両方の意味が持たれるようになりました。
enquire はほとんど見かけなくなり、ウィンドウズの自動スペルチェックでは赤線がひかれてスペルミスではないかとお知らせしてくれるぐらいです。
I inquired his name.
私は彼の名前をたずねた。
The government inquired into Donald Trumps taxes.
政府はドナルド・トランプの税金を調査した。
Can I inquire your name?
（このような言い方はしませんが文法上は問題なし）
この言い方「お名前を伺っていいですか？」はOKなのか？と確認してみましたが、文法上は問題ないそうですが誰もそんな言い方はしないそうです…。
inquireとrequestは似たような意味になりますが、シンプルな文章だと多少ニュアンスが違って伝わります。
I inquired his name.
（彼の名前を調査したように感じる。おそらく誰かに依頼して）
I requested his name.
（誰かに彼の名前を尋ねたように感じる）
