parasolが「日傘」で、umbrellaは「雨傘」と説明されることがありますが、parasolとumbrellaはどちらも「日傘・雨傘」の意味を含め「傘」として用いることが可能です。
もちろん英語でもumbrellaの方が「雨傘」としてもっともよく使われており、parasolは「日傘」に多く使われていますが一般的ではないものの「雨傘」の意味で使っても問題ありません。
カタカナではbeach parasol（ビーチパラソル）と言いますが、英語では日よけのための「beach umbrella（ビーチアンブレラ）」も言葉として存在しています。
parasol（パラソル）は日傘
カタカナのパラソルは海辺やカフェなどで設置されている大きな日よけの傘をイメージしますが英語でも同じ使い方があります。
晴れた日に暑さ対策として人が差して歩く「日傘」の意味でも使われますが、日傘という習慣そのものが日本的でアメリカ人のダイアンは日傘とか使ったことがないと言っていました。
発音は【pǽrəsɔ̀(ː)l】です。
Staff had to set up parasols at each patio table before the cafe opened.
カフェが開く前に、スタッフはそれぞれの中庭のテーブルにパラソルを設置しなければならなかった。
The goths at my high school used to use parasols.
うちの高校のゴス・ファッションの人たちは、よく日傘を使っていた。
ゴス・ファッション（ゴシック・ファッション）の人たちはよく傘をアイテムとして持っています。
parasolを分解すると「para（〜から身を守る）」＋「sol（太陽）」なので、上の例文のようなパラソルや日傘の使われ方が一般的です。
umbrella（アンブレラ）は雨傘
また「傘」といえばumbrellaがよく知られていますが、「umbra」が「陰、日陰」を意味することを考えるとおそらくもともとはumbrellaとparasolはまったく同じように使われていたのではないでしょうか。
parasolを雨傘の意味で使っても問題ありません。発音は少し難しいですが【ʌmbrélə】です。
She felt a rain drop hit her face and opened her parasol.
彼女は顔に雨の雫があたるのを感じ、傘を開いた。
The streets were crowded with people hold parasols during the storm.
通りは嵐の間に傘を持つ人々で混み合っていた。
スティーブは自分も含め、ほとんどの人はumbrellaを使うけど、どちらにせよ傘というもの自体、日本人とは違ってそんなに頻繁に使うものでもないから違いを意識していないと言っています。
日常生活の中でparasolという単語を使うことはおそらくないだろうと話していましたが、傘に関する記事を書くときなどにはumbrellaと何度も書くような言葉の繰り返しを避けるために、置き換えとしてparasolを使うこともあるとのことです。
なお海辺のパラソルについてもカタカナでは「パラソル」と呼ばれますが、英語では「beach parasol」「beach umbrella」「patio parasol」「patio umbrella」など自由に組み合わせることができ、日本人ほど傘に対しての使い分けの意識がない感じがあります。
折り畳み傘（folding umbrella）
折り畳み式の傘は英語では「folding umbrella」と呼ばれます。foldingが「折り畳み式の、折り重ねの、折り畳みの」の意味です。
foldは折り紙などを折るときの動詞で「折る、折りたたむ」としても使われます。folded craneで「折り鶴」です。
I have a blue folding umbrella in my bag.
私はバッグに青い折り畳み傘を持っている。
傘の柄の部分は「handle」です。
The handle of my umbrella broke.
私の傘の柄が壊れた。
特に問題はないと思いますが、傘を開く、傘を閉じるはそのまま英語でもopen / closeです。
I opened the umbrella when it started to rain.
雨が降り始めたときに傘を開いた。
I closed the umbrella when I went inside.
中に入る時に傘を閉じた。
umbrella term
「包括的な用語、総称」の意味で、いくつかの関連する言葉の総称です。
“Autism” is an umbrella term for a number of mental disorders that affect social awareness.
「自閉症」は社会意識に影響を与える多くの精神疾患の包括的な用語だ。
People with non-heterosexual lifestyles tends to be grouped under the umbrella term “LGBT”.
異性愛ではない人々のライフスタイルは、包括的な用語である「LGBT」としてまとめられる傾向がある。
nuclear umbrella（核の傘）
nuclear umbrella（核の傘）という概念も英語ではあります。むしろ英語から日本語に訳されたものだと思います。
US assures Japan of place under the nuclear umbrella
アメリカ、日本は核の傘の下にいることを保証
核兵器は破壊力が大きく、防御もできないので撃てばどの国であっても甚大な損害を受けます。１発撃てば報復の核攻撃を含めて人類が滅亡する可能性もあります。
実際のところ、核兵器は抑止力であり、その気になれば撃つこともできるといった牽制のための武器になっています。
しかし日本のように核兵器を持たない国は、核兵器を持つ国、たとえば中国などに核を撃つと脅されると戦力的に対処のしようがありません。
そこでアメリカのような同盟国で核を持つ国の抑止力の傘の下にいれてもらうことで、核を保有する敵対国に対抗する考え方です。
「nuclear parasol」はネットで検索すると少しヒットします。主に中国の持つ核の下に入ることを「nuclear parasol」といくつかのサイトが呼んでいました。これはアメリカがアンブレラだから、その対比として中国はパラソルといった構図をわかりやすくするための用語・置き換えだと思います。
そこまで一般的に浸透していることはなさそうですがnuclear parasolでも言葉の意味としては普通に理解可能な英語の組み合わせです。
