mount（マウント）は上に乗る動作を指す言葉で、よく馬にのることを指して使われました。ほかにもいくつか語源があって、混ざり合っていろんな意味になっています。
代表的な意味は「上に乗る」「上がる・増える」「取り付ける」「開始する」などの意味です。
最近はカタカナで「マウンティングする」といった使い方があります。英語だとそのままでは意味が成立しないので意味をとって意訳する必要があります。
mountの動詞の使い方
mountはラテン語やフランス語がまざって成立したようで、いくつかの意味が混じっているため、いろんな意味があります。
その中に「馬に乗る」といった古い意味が語源にありました。おそらく「馬に乗る」ことはさまざまな比喩になりえるので意味が派生したのではないかと思います。
いろんな意味があり、それぞれに類義語もあるので、特にmountでないと絶対にダメだということも少ないです。
まず何かに登ることも意味できます。
She mounted the long staircase.
彼女は長い階段をのぼった。
He mounted a horse and rode away.
彼は馬にのって、去っていった。
あがる、増える
「あがる、増える」といった意味があります。これも類義語が多いので『増える、増加する、増やすを英語でいうには？』でご紹介しています。
問題や課題など否定的な意味合いでの増加に使われる傾向があります。
Problems for the governor continued to mount.
その知事の問題は増え続けた。
The accusations of abuse mounted.
不正使用の告発が増えた。
The excitement was mounting in the moments before the concert began.
コンサートがはじまる前の瞬間に、興奮が増していった。
開始する、しかける、組織する
「開始する、しかける、組織する」といった意味もあります。organizeの意味です。
The government mounted a campaign against drugs.
政府は反ドラッグのキャンペーンを組織した。
She mounted a petition against workplace discrimination.
彼女は職場内差別に反対する歎願を開始した。
取り付ける
何かを「取り付ける」の意味にもなります。
I mounted the TV on the wall.
壁にテレビを取り付けた。
There were security cameras mounted on the ceiling.
天井に取り付けられた監視カメラがあった。
mounting（マウンティング）の意味は？
最近カタカナで「マウンティング」という言葉がよく聞かれるようになりました。
カタカナの意味としては上から目線で自分が優位であることをアピールしてくること、一方的に自慢をしてくることを指しているのだと思います。このあたりの正確な定義も曖昧です。
英語にもmountingという単語はありますが、これは単純に動詞のmount + ingの形です。
He mounted his horse.
彼は馬に乗った。
He fell down while mounting his horse.
彼は馬に乗っている時に落っこちた。
もしくは形容詞でmounting（増加していく、積みあがっていく）の意味です。
They raised prices to offset the mounting costs.
彼らは増加する費用と相殺するために価格をあげた。
こういったmounting（マウンティング）の使い方が一般的です。したがってカタカナのマウンティングをそのまま英語にしても通じないと思います。
He is mounting her.
（性的な意味にとられる）
上に乗るといった意味があるので、そのまま文字通りの解釈をすると性的な意味で解釈されそうな感じがします。
格闘技の馬乗りをマウントポジションと呼びますが、そういった文脈があれば成立します。もしくは動物ならば可能な使い方です。
The panda finally mounted his mate.
パンダはついに仲間にマウントした/のった/交尾をした。
カタカナのマウンティング
そこでカタカナのマウントする、マウンティングする、をどういうべきかについてはいくつか候補があります。
例えば「one-up」には「より優位に立つ、一歩先に出る」といった意味があります。
He always tries to one-up her at work.
彼はいつも仕事で彼女より優位に立とうとする。
もしくは単純にbrag（自慢する、鼻にかける）なども候補にあがります。
He always brags about his car.
彼はいつも自分の車を自慢している。
特に男性から女性へのマウンティングという意味では以下のmansplaining（マンスプレイニング）なども近いと思います。
