custodyは「保護・監督」や「拘束」といった意味で使われ、広いイメージでは「何かを安全にkeepすること」に近い言葉です。
特に子供の「親権・養育権」を指す言葉として離婚問題などを扱ったニュースではよく見かけます。また警察による保護・監視の意味で「留置所」なども表すことができます。
誰による保護・拘束かで印象が変わる言葉でもあり、いくつか専門用語や決まり文句のような特定の言い回しがあるのでご紹介しておきます。
親権・子どもの養育権
（人の）保護、監督ですが、多くは子供に対して使われます。いわゆる「親権、養育権」のことです。発音は以下の音声ファイルを参考にしてください。
custody【kʌ́stədi】
The court awarded custody to the mother.
裁判所は母親に親権を与えた。
After the divorce he handed over custody of the children to his ex-wife.
離婚後に、彼は子供たちの親権を元妻に明け渡した。
joint custodyは「共同親権、共同監護」で母親と父親が親権を共有するような形です。
Both parents were given joint custody of their child after the divorce.
両親がともに離婚後の子供の共同親権を与えられた。
She and her husband are divorced but have joint custody of the children.
彼女と彼女の夫は離婚しているが、子供への共同親権を持っている。
custody battleで「親権争い」です。
She was attempting to somehow manipulate the child custody battle in her favor.
彼女は親権争いが彼女支持になるよう、どうにかして操作しようとしていた。
protective custody（保護拘置）
次に紹介する逮捕に近い意味などもあるので、protective（保護の）と書くとよりはっきりと保護、守るためというのがわかります。
protective custodyは虐待を受けた子供などの保護のほかに、命を狙われている証人の保護なども含まれます。
アメリカでしつけのために両親や両親の同僚がグルになって、偽の子供の誘拐事件を起こしました。これが虐待行為になり両親と同僚が逮捕されたニュースからです。
The family and co-worker are currently in jail facing several charges and the boy has been put in protective custody.
その家族と同僚は現在、刑務所に入り、いくつかの罪に問われている。男の子は保護拘置されている。
子供は安全な場所で保護されているといった意味です。
(police) custody
(police) custodyは警察の監督・保護なので「警察の留置場、警察留置場」を意味します。
The suspect is currently in custody and awaiting trial.
容疑者は現在、留置所にいて、拘留（審理を待っている）されている。
It is unclear how she died while in police custody.
警察の留置場で彼女がどのように亡くなったかは不明だ。
take into custody
これも身柄を拘束されることです。法的な厳密さはわからないんですが、arrestとほぼ同義と考えてもほぼ問題ないと思います。
拘留・拘束と逮捕の差のように法的な差はあるんだと思いますが、そこは専門領域における差です。
Seven people were taken into custody during the protest.
抗議活動の中で、７人が拘束/逮捕された。
When I came home from school, my father was being taken into custody.
学校から家に帰ったときに、父親が拘束（逮捕）されていた。
