oathとは神や王様に対してたてる「誓い」の意味を持つ名詞です。日本語の「誓い・宣誓」と感覚が近く、日常会話ではあまり使う言葉ではありません。
裁判や王様が登場するようなドラマでは見かけるかもしれませんが、日常で使う「約束（promise）」などと比較すると言葉が重く大げさになります。
日常の範囲では同じ意味を持つpromiseやswearといった言葉で使ったほうが自然です。いちおう使い方をまとめました。
oathの意味と使い方
oathは名詞で「誓い、誓約」といった意味になります。この単語はまさに日本語の「誓い」といった語感と近く今の時代に使うには大げさな感じもします。日常会話ではあまり見かけません。
発音は【óuθ】です。
oath【óuθ】
この単語を理解するにはpromiseやswearと比較してみるとわかりやすいかもしれません。
まず動詞で考えた場合はpromise（約束する）をより強力にしたのがswear（誓う）です。swearは日常でも使えますが、時にswearは神や王などに誓う重い言葉としても用いられます。
これをそのまま名詞で対応させるとpromise（約束：名詞）と、より強力にしたoath（誓い・宣誓）のような関係になります。
All new members are required to take an oath.
新しいメンバーはすべて宣誓を求められる。
After taking the oath he was inducted into the secret club.
誓いの宣誓をした後で、彼は秘密結社へ入会した。
The witness testified under oath.
証人は宣誓の元で証言をした。
アメリカの裁判などでは宣誓の元に証言を行っています。裁判が日常英会話の範疇かどうかは疑問ですが、かろうじて裁判の場面で見かけることがあるぐらいでしょうか。
誓いをたてる場合には「take an oath」や「swear an oath」のような形になります。
ニュースでは三重大学が古い忍者の宣誓が書かれた巻物を発見したニュースで登場していました。
Researchers at Mie University’s International Ninja Research Center have uncovered a document containing an ancient ninja oath.
三重大学国際忍者研究センターの研究者は、古い忍者の誓いを含んだ文書を発見した。
忍者の術の秘密状態を保つことについての６つの誓い「親子兄弟でも言ったり書き写させたりしない」「忍術を盗みにつかわない」といったことが書かれているそうです。
上の写真のポーズははっきりした起源は曖昧ですが、大昔に罪をおかすと掌に入れ墨・焼印のようなものを見せたことに由来するそうです。
promiseやswearとの違い
oathは神や王のような強い存在との誓い・宣誓でもあり、今日では儀式的場面でのみ使われる傾向があります。
oathは仰々しい感じもするので、それに見合った場面が必要です。
I swore to her that I would not lie again.
私は二度と嘘はつかないと彼女に誓った。
I promised her that I would not lie again.
私は二度と嘘はつかないと彼女に約束した。
I made a promise to her that I would not lie again.
私は二度と嘘はつかないと彼女に約束した。
I swore an oath to her that I would not lie again.
（日常会話としては重過ぎる表現）
もう１つ例文を書いておきます。逆にいえば王や神に誓いをたてる場面ならばoathが雰囲気としてもあってきます。
He swore his loyalty to the king.
He took an oath of loyalty to the king.
彼は王に忠誠を誓った。
He promised his loyalty to the king.
He made a promise of loyalty to the king.
彼は王に忠誠を約束した（やや弱い表現）
王にpromiseでも問題ありませんが、雰囲気として少し軽い感じもします。
oath breaker / oath Keeper
王に誓いをたてる可能性がある人は少ないと思いますが、中世を舞台にしたファンタジー系のドラマや映画なら見かけるかもしれません。
架空の中世ヨーロッパ風の世界を舞台にした『ゲーム・オブ・スローンズ（Game of Thrones）』に登場していました。
登場人物の一人であるジェイミー・ラニスターはかつて王様を殺したため「King slayer（キングスレイヤー・王殺し）」の異名で知られていますが、これとは別に「oath breaker（誓いを破る人）」とも呼ばれていました。どちらにしろ不徳の人です。
そのジェイミー・ラニスターが行動を共にすることになった女性剣士に剣をプレゼントしますが、その剣の名前が「oath Keeper（宣誓を守る人・誓いを守るもの）」です。
