execute（エクセキュート）は要するにdoを丁寧にしたような単語で、日本語としては「実行する、遂行する」の意味になります。
しかし、ニュースで登場する多くは「死刑などを執行する」「殺す」を婉曲で表現したような意味になるので「（死刑などを）執行する」といった使い方になります。
死刑以外ではコンピューター、プログラミングの世界で登場することも多いですが、ごく普通の文章でも登場することがあるかもしれません。
この記事の目次！
executeの意味
発音は【éksəkjùːt】です。意味合いとしては「do（する）」の丁寧な言い方になります。これは特に複雑なこと、難しいようなことを実行する場合に用いられます。
辞書には「実行する、遂行する」などの訳があてられていますが、簡単にいえば何かをすることです。carry outのような意味になります。
語源をたどるとfollowの意味が入っているのもあり、整った流れや手順を感じさせる言葉です。
The plan was executed as soon as possible.
計画は可能な限りはやく実行された。
The gymnast executed a difficult maneuver and won the gold medal.
体操選手は難しい手順/技を実行し、金メダルに輝いた。
They decided that it was time to execute their plan.
彼らは計画を実行する時間だと決めた。
最近はwindowsの拡張子があまり目立たなくなりましたが.exeのファイルはexecutable file（実行ファイル）でここから来ています。またプログラミング用語でも用いられる言葉です。
エクスキューズミーの「excuse」とはスペルが似ていますが言葉の成り立ち、語源が違うので無関係です。
死刑などの執行
doの意味ですが、そこから処刑などを「実行する」といった意味で「殺す（kill）」に対しての婉曲表現としてニュースなどでも使われます。
ニュースで登場する場合はこの死刑、処刑が実行された意味で用いられるケースがほとんどです。
「殺す」の意味ですが、殺すまでの手順が整えられたようなものに使います。
例えば法的な死刑執行や、テロリストが見せしめに行う、人質に膝をつかせ、頭の後ろに手をやり、目隠しをさせた上での処刑など、体系的に手順が整えられた（organized way）殺し方に使います。
逆にいえば街中で銃を手当たりしだいにぶっ放すような行為や偶発的なものに対しては「execute」はあまり使われません。
The murderer was executed.
その殺人者は処刑された。
The reporter was captured by the extremist group and executed.
レポーターは過激派に捕まり処刑された。
The shopkeeper was executed during the robbery.
小売店の店主は強盗の間に殺害された。
The dictator executed his political rivals.
独裁者は政的なライバルを処刑した。
例文からも、衝動的・突発的に殺されたのではなく、手順が整えられた殺され方をされたのだと感じることができます。
execution（名詞）
名詞のexecution（エクスキューション）も動詞の説明がそのまま当てはまり、「遂行、実行」の意味がありますが「処刑の執行」の意味でよく使われます。
She managed to avoid her 2014 execution by getting pregnant in prison.
彼女は妊娠することでなんとか2014年の死刑執行を免れた。
死刑の執行の中には銃殺や絞首刑などさまざまな方法があるので、それらを具体的に指す言葉もあります。意外なところではcapitalに「死刑に値する」といった意味があります。
