エクセルなどの関数にも登場しますがsumは「合計する」といった動詞や「合計」の意味の名詞で使われます。
基本的には以下のように数学的、数字を扱う場面での登場が多いですが、いくつか熟語になっているものがあるのでご紹介します。
使い方はネイティブスピーカーに作ってもらった例文を参考にしてください。
合計
多くの場合は数字の足し算をして合計を出すときに用いられます。これが一般的な使い方です。エクセルの関数でもおなじみです。
The sum of two and three is five. (2+3=5)
２と３の合計は５だ。
If you sum eight and two, you get ten. (8+2=10)
もし８と２を合計すると10になる。
日常では特にお金に関することの「total」として単純に使われることがあります。
He wants a large sum of money for his car.
彼は車のために（合計で）大金がほしい。
He lends small sums to new businesses.
彼は新しいビジネスのために少額を借りる。
まったく関係ありませんがsumにあうイメージ画像を探していたら、やたらシュウマイの画像がヒットしたので調べてみると中華の点心を「dim sum」と呼ぶそうです。
sum up（要約する）
これで「要約する」「まとめる」といった意味になります。give a summaryと似た意味です。
状況によっては「要するに」と訳してもいいのかもしれません。
To sum up my speech, I think the death penalty should end.
私のスピーチをまとめると、私は死刑はやめるべきだと思います。
関係ありませんが親指を上に突き立てる動作は「thumbs-up（サムズアップ）」でカタカナにしてしまうと似ていますが、そもそもの字が違います。
sum + 人+ up
これで「人を判断する」といった意味になります。「要約する」にイメージは近く、どういった性格の人であるか、どのような人であるかをjudge（判断）することです。
I summed him up the moment he walked in the door.
彼がドアから歩いてきた瞬間に、彼がどのような人間かわかった。
ぴったり日本語にしにくい言葉ですが、上の例文は「この人は雑な人間だな」「感じ悪そうだな」といった要約をすることに近いです。
To be a good basketball player you have to sum up the other team quickly.
良いバスケット選手になるためには、ほかのチームがどうかを素早く判断しないといけない。
他のチームを見て、あの選手はキーマンだ、あの選手はディフェンスに定評がある、といった判断して、要約するようなイメージです。
greater than the sum of their parts
これもよく見かける表現で「個々の合計より良い」といった意味で、1+1は200になるようなチームワークの良さを表す表現です。
People say that the Beatles were greater than the sum of their parts.
人々はビートルズはそれぞれの合計より素晴らしかったという。
ポール、ジョージ、ジョン、リンゴはそれぞれ10の力しかないけど４人が集まればそれは40以上になっているといった意味です。
しかし、この表現は自分達同士を比較した場合に使うので、ほかのモノと比べる時には使いません。
The Unites States is greater than all other countries combined.
アメリカは他のすべての国より偉大だ。
このようにアメリカと他の国の合計などには使いません。以下の表現は可能です。
The united states are greater than the sum of their parts.
団結した州は、個々の州の合計よりも偉大だ。
これは小文字なのでアメリカではなく、州が集まって協力する国の形態（連邦制）は強力な１つの国ができあがるといった意味です。
