fameは名詞で「名声・有名なこと」を意味する単語です。動詞ではないので「名声を得る」といった場合にはgetやearnなどいくつかの動詞と組み合わさります。
形容詞はfamedで「有名な、高名な」といった意味になります。famousとの違いについてもネイティブスピーカーにヒアリングをして例文にまとめています。
ラテン語までさかのぼればfamousとfameは同じ語源になるので親戚のような言葉だといえます。
fame（名詞：名声・評判）
fameを名詞で使った場合の意味はシンプルに「名声・評判・有名なこと」です。人から良いと思われること、評価されるような声のことです。
Many people want fame.
多くの人々は名声を欲しがる。
He lost his privacy after he got his fame.
彼は名声を得た後でプライバシーを失った。
His fame came at the cost of his privacy.
彼の名声はプライバシーを犠牲にしていた。
有名になればいいことも多いですが、目立ってしまうので必ずしも良いことばかりでもありません。
少し雰囲気やニュアンスに差が出ますがfameを使って有名であることを表すこともできます。fameを使うとよりフォーマルになりfamousを使うとより一般的になります。
名詞（fame）と形容詞（famous）といった品詞の違いに注意しながら以下のように似た意味の文章も作れます。
She is famous.
She has fame.
彼女は有名です。
She is famous for climbing Mt. Everest.
She has fame for climbing Mt. Everest.
彼女はエベレスト登山で有名です。
He is famous as the guy who invented Hawaiian pizza.
He has fame as the guy who invented Hawaiian pizza.
彼はハワイアンピザを考案した男として有名です。
His Hawaiian pizza made him famous.
His Hawaiian pizza brought him fame.
彼のハワイアンピザは彼を有名にした。
Hall of Fame（殿堂）
Hall of Fameは直訳すると「名声のホール」ですがよく「○○の殿堂」と訳されさまざまなジャンルで見かけることができます。
Pete Rose may never be inducted into the Baseball Hall of Fame.
ピート・ローズは野球の殿堂に入ることは絶対にないかもしれない。
The World Video Game Hall of Fame announced their second round of inductees since starting last year.
世界ビデオゲームの殿堂は昨年に始まって以来、２回目の殿堂入り作品を発表した。
一緒によく使われるのがinduct（～を入会させる、～を受け入れる）の意味がある言葉で、入る側の組織やグループは高く尊敬されるような立派なものが来ます。inducteeで「入会する人」を指します。
claim to fame
これで１つの塊となる名詞句で「有名にしたもの、秀でたもの、自慢できる部分」といった意味合いです。
His claim to fame was being the first person to walk on the Moon.
彼を有名にしたのは、月面を歩いた初の人間だということだった。
What is her claim to fame?
= Why is she famous?
彼女を有名にしてるのは？
The YouTuber’s claim to fame was eating 100 boxes of Pocky.
そのユーチューバーを有名にしたのは、100箱のポッキーを食べたことだった。
名声を得る
fameは動詞ではないので、名声を得る場合には上の例文のように「get」を使うのも一般的ですが、他にいくつか表現があります。
rise to fameやshoot to fameがよく使われます。riseは「名をあげる」といった意味が近いです。shoot to fameは短期間で名声を得るようなものに使われる傾向があります。
He rose to fame after winning an Olympic medal.
彼はオリンピックのメダルを勝ち取って名声を得た。
She shot to fame when her song was played in a hit movie.
ヒット映画の中で彼女の曲が演奏されて、彼女は名声を得た。
またfindを使って「名声を見つける」のような表現も可能です。
He worked hard for many years and has finally found fame as a musician.
彼は何年も必死に働き、ついに音楽家としての名声を手に入れた。
他にもgain（獲得する）やearn（得る、獲得する）などもfameと一緒によく使われる言葉ではあります。
KISS gained fame for their white painted faces and flashy costumes.
キッスは白くペイントした顔や派手な衣装で名声を得た/評判になった。
famedとfamousの違い
基本的には同じ形容詞で「有名な、著名な」の意味ですが、わずかにニュアンスの差、使われる傾向があります。
famedはある分野で有名な人ではあるけれど、一般の人には知られていないケースによく使われます。
He met with the famed cell biologist at a ceremony.
彼は著名な細胞生物学者にセレモニーで会った。
He met with the famous cell biologist at a ceremony.
彼は著名な細胞生物学者にセレモニーで会った。
日本語にすると同じですがfamedを使うとその分野では有名ですが、普通の人はあまり知らないニュアンスがあります。
Jackie Chan is a famous martial arts choreographer.
ジャッキー・チェンは著名な武術の振付師である。
Yuen Woo-ping is a famed martial arts choreographer.
ユエン・ウーピンは著名な武術の振付師である。
ジャッキー・チェン（成龍）は誰でも知っていますが、ユエン・ウーピンは香港映画の振付師であり、映画『マトリックス』でも武術指導をした人です。しかし、一般の人にそれほど有名なわけでもありません。
日本語で著名、有名、高名にこの差があるようには思えないので日本語では表しにくい概念であるといえます。
famedの使い方
またfamedは「過去において有名だった（今は有名ではない、すでに存在しない）」のような歴史的な事柄や、亡くなった人に使われる傾向があります。
Many celebrities went to the famed Studio 54 during the disco era.
多くのセレブが有名だったスタジオ54にディスコ時代に行った。
Famed boxer Muhammad Ali passed away last week.
著名なボクサー、モハメド・アリは先週なくなった。
スタジオ54はジュリアナ東京のようなものだと考えるとわかりますが、確かに有名ですが今はもうないので現在も有名かといえば少しニュアンスが変わります。
モハメド・アリもアントニオ猪木ぐらいに置き換えても同じですが、有名ではあるものの若い人は現役時代の試合を見たわけではなく、famousとは少し質の違った有名さです。
famousの使い方
一方のfamousは、どこまで続くかはわからないけど一時的に有名なものや、有名になろうとするものなどに使われる傾向があります。
したがってinstantly（一瞬にして、あっという間に）やbecome（～になる）といった言葉と組み合わさることも多いです。
The website was instantly famous for its viral videos.
ネットで拡散した動画でそのサイトはあっという間に有名になった。
The website was instantly famed for its viral videos.
（ニュアンスとして変な表現）
He is trying very hard to become a famous YouTuber.
彼は有名なユーチューバーになろうと必死に試みている。
He is trying very hard to become a famed YouTuber.
（ニュアンスとして変な表現）
このあたりは絶対的なルールではないのであくまで傾向としてこのようなものがあると考えておくのがいいと思います。
famousについては以下の記事でもまとめているので類義語との比較もあわせて参考にしてください。
