ロッジ（lodge）といえばスキー場などにある山小屋のイメージがありますが、英語でも同じような感じです。丸太で作られた泊まれる山小屋・山荘のことです。
lodgingはaccommodation（アコモデーション）と同じような意味で広い意味での宿泊施設や部屋を指して使われることがあります。
動詞では苦情や異議などを「申し立てる」や何かが「つまる、ひっかかる」といった意味で使われることが多いです。
山小屋・小屋
ロッジ（lodge）は厳密な定義も曖昧で、あらゆる家や小屋を指せますが、英語でも日本人がイメージする「ロッジ」と近いものがあります。
基本的には大自然や田舎にある丸太で作られたようなものを感じさせる言葉です。古くはハンターのための小屋の意味だったようです。
ネイティブスピーカーにとってもロッジは雰囲気的な言葉で「ロッジっぽい感じ」がしたらそれはロッジなんだろうといった程度で、何があるとロッジと呼んでいいといった感覚・定義も希薄です。
だいたい山奥にあって丸太で作られて宿泊できる家・小屋のことです。
The hunters woke up early and left the lodge to find some deer.
ハンターは早くに起きて、鹿を探すために小屋を離れた。
His butler stayed in a small lodge on the mansion’s property.
彼の執事は大豪邸の敷地の小さな小屋に泊まった。
We stayed at a beautiful ski lodge.
私たちは美しいスキー小屋に泊まった。
Native American’s used to build large lodges for the entire community.
アメリカの先住民はかつては大きな小屋をコミュニティー全体のために建てた。
かつてネイティブアメリカンは「long house」と呼ばれる大勢が住める家を建てていたそうです。
hut
類義語でhutは小さくて簡素な住まいのことを指し「小屋」を意味します。ロッジと比べるとより小さく簡素で、観光や宿泊向きではない掘っ建て小屋です。
The members of the tribe lived in huts made of mud and grass.
その部族のメンバーは泥と草で作られた小屋に住んでいた。
The beach has several huts for people to change their clothes.
ビーチには人々が服を着替えるための小屋がいくつかある。
lodging
同じ名詞ですがlodgingで借りるための部屋、宿泊施設を指します。これは山小屋である必要はなく、accommodation（アコモデーション）と同じ意味です。
hotel（ホテル）はその中の種類・形態の１つだと考えても問題ないと思います。
The town didn’t have suitable lodging for such a large event.
その町にはそのような大きなイベントに最適な宿泊施設がなかった。
I checked the internet for cheap lodging near the theme park.
テーマパークの近くの安い宿泊施設をネットで調べた。
lodgeの動詞での意味と使い方
動詞で「宿泊する」「宿泊させる」といった意味はありますが、あまり一般的には使われません。
The police arrested a man who was lodging in my neighbor’s garage.
警察は近所のガレージに泊まっていた男を逮捕した。
We used to lodge together in college.
私たちはかつては大学で一緒に宿泊していた。
（ルームメートだったの意味）
動詞では他にも意味がありますが語源としては元々は山などで「キャンプを立てる」みたいな意味があり、それが小屋・居住地だけでなく植物を植えることなどにも使われ、以下に紹介する「申し立てる」のような意味に広がっていったイメージです。
（苦情などを）申し立てる、申し出る
動詞では苦情や不満などを「申し立てる、申し出る」の意味で使われます。何を申し立てたか書く必要があります。
Someone broke her window so she lodged a complaint with the police.
誰かが彼女の窓を割ったので、彼女は警察に不満を申し立てた。
The company was ordered to stop selling cars but they will probably lodge an appeal.
その会社は自動車の販売停止を命令されたが、彼らはおそらく上告するだろう。
ここでのappeal（アピール）は上位の裁判所に訴えることです。
つまる
他にも異物などが「とどまる、つかえる、引っかかる」といった意味もあります。
A bullet was lodged in his skull.
弾丸が彼の頭蓋骨につまった。
My son’s toy got lodged in the toilet.
うちの息子のおもちゃが便器につまった。
dislodge
dislodgeは動詞で「除去する、取り除く、追い出す」で、定位置にあるものや人を強制的に退けることです。
The earthquake dislodged a lamppost outside my house
その地震は私の家の外の街灯柱を外した。
The military attempted a coup to dislodge the dictator.
軍は独裁者を追放するためにクーデターを試みた。
