どちらも似たような言葉ですが、一般的な解釈ではin charge ofは「～を担当して、～を任されて、～を管理している」です。
responsible forは「～に対して責任がある、～の責任を負う」と言葉通りに解釈可能です。
この２つの違いについてネイティブスピーカーに確認してみましたが、場合によっては同じで置き換え可能になり、場合によってはわずかに差がある、といった微妙な感じでした。
結果的に日本語と同じ感覚で「彼はこの計画の担当者だ」と「彼はこの計画の責任者だ」は違いが微妙なのと似ています。
結論がはっきりしないぐらい微妙な感じですが参考程度に話し合ったことを記載しておきます。
in charge ofの意味と使い方
基本的には何か（行動・物事）をコントロールしないといけないことです。「～を担当している、管理している」と考えて問題ないと思います。
He’s in charge of distribution.
彼は流通を管理・担当している。
She is in charge of a team of 20 people.
彼女は20人のチームをまかされている。
be responsible forの意味と使い方
responsible forは失敗しないように確かにすることで、失敗すると非難される立場にあります。この意味では「責任がある、責任者」と考えてもいいでしょう。
I’m responsible for making the budget.
私は予算作成の責任がある。
She’s responsible for getting her children to school on time.
彼女は子供たちを時間通りに学校に行かせる責任がある。
He is responsible for this project.
彼はこのプロジェクトの責任を負っている。
～の原因・要因である
be responsible forは人間以外のものだったり、生物でないものが主語にもなります。
その場合は過去の出来事、すでに起こったことに使われ、日本語訳で考えるならば「～の原因となる」「～の要因となる」などが合ってきます。
The earthquake was responsible for 1,000 deaths.
その地震が原因で1000人が亡くなった。
This button is responsible for launching a missile.
このボタンはミサイルを発射する原因となる。
He is responsible for this success.
彼がこの成功の要因だ。
このような表現も可能で「彼がいたから成功した、成功の要因だった」という意味です。
当たり前の話になりますが、この意味で使われているケースでは置き換えが不可能です。
He is responsible for her death.
彼女の死の原因は彼だった。
この場合にin charge ofを使うと「彼女の死の担当者だった」となるので置き換えできません。
意味が同じケース
これらは同じように使えるケースが存在しています。本当に近い意味の言葉ですね。以下のケースは受け止め方は同じです。
I’m in charge of distribution.
= I’m responsible for distribution.
私は流通の担当者・責任者だ。
She’s in charge of the promotion for our new product.
= She’s responsible for the promotion of our new product.
彼女は新商品の宣伝の責任者・担当者だ。
意味が異なるケース
しかし、わずかに違いがみられるケースが事実として存在しています。以下の言葉などは明らかに指している部分が違うと感じられます。
I’m in charge of my children.
（I tell my children what to do.）
I’m responsible for my children.
（I must make sure my children are good and healthy.）
（）の部分はスティーブの言葉をそのまま書きました。
in charge ofは子供たちが何をするかを伝えたりする役目です。responsible forは健康で正しく育つようにちゃんとしないといけないといった感じです。
もう１つ例文を出してみます。
I’m in charge of getting my kids to school.
（I tell them when to go to school.）
in charge ofは何時に学校に行くかをちゃんと伝えるようなことを指しています。
I’m responsible for getting my kids to school.
（I must make sure they go to school.）
responsible forはちゃんと学校に通わせるようなことです。
この意味ではややin charge ofの方が作業レベルの話で、responsible forが責任など大きな視点によっている感じはあります。
日本語でも担当者と責任者は重複する部分もありますが、やや責任者のほうが全体を俯瞰してみている感じがあります。
差としてはかなり微妙で、重複する部分もありながらも、やはりわずかにニュアンスに差が見られます。
chargeそのものにも、幅広い意味があるので別の記事にまとめています。
