どれも事件、事故、出来事などを表す単語ですがアクシデント、ハプニング、トラブルなどはすでにカタカナで使われていることもあり、英語との違いがけっこう出ます。
以下、ネイティブスピーカーの意見を聞きながらそれぞれの使い方の違いをまとめてみました。特にカタカナではよく使う「happening（ハプニング）」はかなり曖昧な表現になります。
また場面によってはdisasterが最適の可能性もあるので別記事『disasterの意味と使い方』にまとめました。使い方の参考にしてください。
この記事の目次！
accident（アクシデント）の意味
accidentは予期しない偶発的な出来事を指します。カタカナのアクシデントは良いことにはあまり使いませんが、英語のaccidentそのものは良いとも悪いともいっていません。
偶然によるものなので、計画されたテロ攻撃などには使いません。また大規模すぎるものにも使いません。発音は【ǽks(i)dənt】です。
He was in a car accident.
彼は車の事故にあった。
It was an accident that he became CEO of the company.
彼が会社のCEOになったのは偶然の出来事だった。
他の言葉と比較するために以下の例文をとりあげてみます。
There was an accident during the game.
試合中にアクシデントがあった。
この例文から読み取れるのは試合中に「予期しないことがあった」と「人為的なものではない、自然発生によるもの」といったことです。また後で紹介する他の言葉と比べると人が怪我をしたようなニュアンスが強く出ています。
ダメな例文は以下のものです。
3-11 was a major accident in Japan.
（アクシデントと呼ぶには東日本大震災は規模が大きすぎる）
9-11 was a major accident in the U.S.A.
（テロ攻撃は人により計画されたものなのでアクシデントではない）
by accidentで「偶然に」といった意味になります。
I met her by accident.
偶然、彼女と会った。
この場合は会ったことが悪かったとはいっておらず単に偶然だったといっています。「偶然に~する」は似たような表現が多いので以下の記事にまとめています。
incident（インシデント）の意味
「出来事、事件」と訳してもよいと思います。たいてい悪い出来事に使われますが、悪くない可能性も考えられます。言葉としては日本語と同じで文脈がないとけっこう漠然としています。
こちらは人為的な計画されたテロ攻撃なども指すことができます。発音は【ínsidənt】です。
The terrorist attack is an incident that will be remembered for a long time.
テロ攻撃は長く記憶に残るであろう事件だ。
The movies is about several humorous incidents in his life.
その映画はいくつかのユーモラスな彼の人生の出来事を描いている。
9-11 was a major incident in the U.S.A.
911はアメリカにとって大きな出来事だ。
She had several incidents while in the army.
彼女は軍にいる間、いくつかの出来事があった。
最後の文章などが曖昧で何があったのか不明確です。おそらく敵に襲われるようなことだろうとは想像できますがはっきりとはわかりません。
There was an incident during the game.
試合中にインシデントがあった。
上の例文からは、観客が喧嘩をはじめた、テロリストの攻撃があったなど、人為的な何かが起こったと読み取れます。
3-11 was a major incident in Japan.
（間違いではないものの少し文章が曖昧で不明瞭）
この場合は下で紹介しているdisaster（災害・惨事）などを使ったほうがわかりやすいです。
without incident
without incidentで「特に何事もなく、無事に、問題なく」という意味になります。
The event was held without incident.
イベントは無事に開催された。
I drove across the country without incident.
何事もなく国を車で横断した。
without accidentでもOKみたいですが、あまり一般的ではない表現になります。それならばwithout any accidentsのほうが一般的です。
The event was held without any accidents.
I drove across the country without any accidents.
（先の例文と同じような意味です）
happening（ハプニング）の意味
happening（ハプニング）はカタカナと大きく違い、英語では「起こったこと」ぐらいのかなり広範囲の漠然とした意味になるため、あまり名詞としては使いません。
ジュースを飲むこと、スマホがテーブルの上にあること、鼻がかゆかいからかいたこと、これらすべてが起こっていることなので「happening（ハプニング）」の範疇に入ります。上の珍しくもないデスクの写真すらも、何かしら現象が起こっています。
There was a funny happening during the game.
（この使い方は一般的ではない）
使うとするならば動詞のhappenが一般的です。
Something happened in the game.
試合で何かが起こった。
Something funny happened during the games.
試合でおかしなことが起こった。
また使うとすれば形容詞で、happeningには「すてきな、素晴らしい」といった意味、英語ではcoolのような意味になります。
This party is really happening.
このパーティーは本当に素晴らしいね。
I went to a happening bar last night.
昨夜、いい感じのバーに行った。
ここで「happening bar（ハプニングバー）」はいわゆる日本における性的な意味でのハプニングバーとは違い、クールで人気の素敵なバーみたいな意味になります。
カタカナの「ハプニング」はけっこう和製英語になっているといえます。
occurrence
occur（起こる）の名詞になったもので「事件、出来事、起こること、現象」です。happeningと同じような意味になります。
The full moon is an monthly occurrence.
満月は月次での起こること・出来事だ。
しかし、わざわざ使う理由もあまりない単語です。
Our meeting is a biannual occurrence.
私たちの会議は、年に2回（半年に1回）の出来事だ。
上のような言い方は間違っていませんが、わざわざこんな言い方をしないです。
Our meeting is a biannual event.
Our meeting is a biannual thing.
私たちの会議は、年に2回のことだ。
happeningにもいえますが、あえて名詞で使う理由がない、ほかにもっといい言葉の選択肢がある、という話です。
trouble（トラブル）の意味
trouble（トラブル）は「問題、困難」などの意味で、通常は不加算名詞で使われます。
There was trouble during the game.
試合中にトラブルがあった。
何かしら悪いことなので、野球でいえばピッチャーが倒れた、雨が降りすぎ、飲んでいたビールが温かくなった、規模の大小を問わずなんでも指せます。しかも、問題が何個発生したともいっていません。
9-11 was major trouble in the U.S.A.
3-11 was major trouble in Japan.
これらの表現は間違いではなく、使っていけないわけではないけれども、他にもっと適切な言葉があるのに、わざわざトラブル（trouble）を使う理由がありません。たぶん言わないというネイティブスピーカーの見解です。
in trouble
in troubleは「何か困った状態になる」と、悪いことをして「まずい状態になる」の２つぐらいの意味があります。日本語にすると近いです。
自分が起こしたことが原因になっているか、あるいは自然とそうなったのか、を問わずに使うことができます。
Ask me a question if you get in trouble.
何か困ったことがあれば質問してください。
I was in trouble when my car broke down.
車が壊れたときに、困ったことになった。
He got in trouble with his parents for breaking a window.
彼は窓を割ったことで両親とまずいことになった。
She was in trouble with the police and escaped the country.
彼女は警察とまずいことになって、その国から逃げた。
disaster（ディザスター）の意味
似たような状況ではdisasterが適切な言葉の選択である可能性があります。発音は【dizǽstər】です。
disasterは「災害」と訳されることが多いですが、偶然・意図的を問わずに大きな出来事で「惨事、厄災」を表すこともできます。
3-11 was a major disaster in Japan.
東日本大震災は日本の大きな災害だった。
9-11 was a major disaster in the U.S.A.
911はアメリカにとって大きな惨事だった。
これについては以下の記事にdisasterの使い方をまとめましたのでご覧ください。
