let / allow / permitはどれも「許す、許可する」といった意味で使われます。
まず違いとしてあるのが言葉の持つ雰囲気で、許可される行為との相性の問題があります。さらに文法的に使い方が異なるケースがあります。
そこから個々の言葉が特殊な使い方をされるケースもあります。「雰囲気」「文法」「特殊ケース」の３つの部分に焦点をしぼりながらまとめてみます。
言葉の雰囲気が違う
どれも「～を許す、許可する」です。わかりやすい差として、言葉の雰囲気があります。お母さんに許しをもらうのと、政府の許可では意味は同じでも雰囲気が異なります。
let（カジュアル）、allow （普通）、permit（フォーマル）ぐらいの差なので状況によって使い分けてください。
特に「permit」などはフォーマルな言葉なので日常生活でお母さんなどに何かを禁止される、許可される場合に使うとちょっと変です。
◎ My mom let me see the movie.
〇 My mom allowed me to see the movie.
△ My mom permitted me to see the movie.
お母さんは私が映画を観に行くことを許してくれた。
〇 The employee let me have access to the computer.
◎ The employee allowed me to have access to the computer.
〇 The employee permitted me to have access to the computer.
その従業員は私にコンピューターにアクセスすることを許可した。
コンピューターの例文でいえば状況にもよりますがletはややカジュアルすぎるかもしれないし、permitはややフォーマルすぎるかもしれません。
政府の極秘情報にアクセスするための許可か、お店のパソコンをちょっと使わせてなのか状況によります。ただ、どれも間違いではありません。
let / allow / permitの使い方
使い方の違いで大きな点としてはallowとpermitは受動態の形でも使うことができます。
〇 Alcohol is not permitted on this bus.
〇 Alcohol is not allowed on this bus.
アルコール類はこのバスでは許可されていない。
× Alcohol is not let on this bus.
またallowとpermit は後ろに人を置くと、toが必要になります。
My mom permitted me to see the movie.
My mom allowed me to see the movie.
My mom let me see the movie.
また「許可すること、許されること」はこれらの言葉を使わずとも表現可能です。
My mom said I’m allowed to go to the concert.
=My mom said I could go to the concert.
この場合は「母親はコンサートに行ってもいいと言った」でcanやcouldでも似たような意味になります。
これぐらいを抑えておけば、基本的には問題ないとは思います。以下は言葉が置き換えできない特殊な場合や言葉本来の特徴などをご紹介します。
allow（可能にする）の意味と使い方
allowの基本的な意味は「許す、許可する」といったものですがもう少し幅広い解釈が可能です。
特に人間が主語で「誰かから許可を与えられた、許された」ならまだ理解しやすいですが、以下の例文はすべて「機械やモノから許可を与えられる」といった直訳になります。
allow 人 to 動作
（人が動作をすることを許可する、許す）
This ticket allows me to ride the subway all day.
このチケットは私に1日中、地下鉄に乗ることを許可している。
上の場合は「1日乗り放題の乗車券」のようなものを表しています。
また以下のような表現も可能です。日本語に翻訳するとしっくりこない感じがあります。
This car allows me to go to far places.
この車は私に遠く離れた場所に行くことを許可してくれる。
この場合は「私はこの車で遠くに行くことができる」「私はこの車によって遠くにいく機会を与えられた」のような意味です。
My new dishwasher allows me to watch more TV.
新しい皿洗い機は私により多くテレビを見させてくれることを許可する。
この場合は「新しい皿洗い機のおかげでより多くテレビを見れる」といった意味です。
車や皿洗い機は意志がないので、そういったものから「許可を与えられる」と考えるとちょっと変ですね。
もっと幅広く「機会を与えられた」「可能にしてくれた」ぐらいのニュアンスが近い言葉です。
permitとpermissionの違い
名詞で使った場合ですがpermitは紙の「許可証」のようなものを指します。
一方でpermissionは「許可」です。管理者など権限のある人から許しをもらうことです。
Do you have a permit to enter?
入るための許可証はお持ちですか？
Do you have permission to enter?
入るための許可はお持ちですか？
言葉が違うと文章の意味が異なるケースもあります。
He was arrested for driving his neighbor’s car without a permit.
彼は近所の人の車を「免許証なし」で運転して捕まった。
He was arrested for driving his neighbor’s car without permission.
彼は近所の人の車を「許可なし」で運転して捕まった。
上は無免許運転ですが下は窃盗です。
permit（動詞）の使い方
すでにご紹介したように動詞でも使えるので書いておきます。
Smoking is permitted in bars and restaurants.
バーとレストランでの喫煙は許可されている。
He permitted me to use the company car.
彼は私が社用車を使うことを許可した。
ただし、すでにご紹介したようにかなりフォーマルなのでお母さんからの許可に使うとちょっと言葉の雰囲気があいません。
△ My mom said I’m permitted to go to the concert.
母親は私がコンサートに行くことを許可/禁止した。
後ろに禁止・許可するモノを置くか、人を置くかでそれぞれ少し変わります。
The airport permits dogs inside.
空港は犬を連れて入ることを許可している。
The airport permits people to bring dogs inside.
空港は（人々に）犬を連れて入ることを許可している。
反対の意味にあたる拒否するは以下の記事にまとめています。また一部で意味がかぶるadmitの使い方に関しては別の記事に詳しくまとめています。
