project（プロジェクト）は「計画」の意味でカタカナでもよく使われていますが、動詞では「投影する」といった意味で使われます。流行っている「プロジェクション・マッピング」などもこの意味です。
そこから「予測する」「（人生などを）投影する」といった幅広い意味で使われています。名詞ではprojection（プロジェクション）もあり、こちらは動詞の意味がそのまま名詞になっています。
幅広い使われ方をするので、１つ１つ使い方を例文にまとめています。
project（動詞）の意味と使い方
projectは動詞で使うとスクリーンなどに「～を投影する、発射する」といった意味で使うことができます。
これは最近はやりの壁や建物に映像を投影する「プロジェクションマッピング（projection mapping）」や、スクリーンに写す「投影機・プロジェクター（projector）」があるように、何かを前・外に向けて送りだす感覚があります。
投影機・プロジェクターを使って光を投影することなので、単にテレビ画面に映っているだけのものとは違います。
The movie was projected onto the whiteboard.
その映画はホワイトボードに投影された。
また「推定する、予想する」といった意味にもなります。予想されるのは「現在のデータに基づいた予測」であり、今の情報・データが未来に投影されるので予測といった意味になります。
Sales are projected to go down next year.
来年の売り上げは下がると予想されている。
投影する・与える・醸し出す
projectは自分の人生などを「投影する」といった使い方もできます。重ね合わせるような行為を指します。
When parents push their kids too hard, they are really projecting their disappointment in themselves.
両親が子供たちに過剰に強要するとき、彼らは実のところ彼ら自身の中にある失望を投影しているのだ。
自分たちができなかった失望感から、子供を同じ目に合わせたくないといった想いが働き、時に過剰に強要するといった意味です。
She always accuses her boyfriend of cheating, but really she is just projecting her own interest in other men.
彼女はいつも彼氏に対して浮気をしているのではないかと非難する。しかし、実のところ彼女はただ自分自身が他の男に興味があることを投影しているのだ。
意味が少し複雑ですが「浮気してない？ 大丈夫？」と心配することは、相手を心配しているようで、その原因は自分が他の男に興味があるからこそ、そういった心配が起こるという話です。
もう少しわかりやすく例えると家族や恋人にいきなり「最近、競艇にいってない？ 競艇でお金使ってない？ 大丈夫？」と質問すると、大半の人は「はあ？ 競艇とかいかないよ…」となります。なぜいきなり競艇の質問をするかといえば、自分の中に競艇があるからでそれがprojectされているからだといえます。
飛ばす・送る
見る機会は少ないと思いますが、まれに突き刺さっている（stick out of）や飛ばす・送る（send out of）といった意味でも使われます。
A pipe was projecting from the wall.
パイプが壁から突き出ていた。
He used a slingshot to project stones at the window.
彼は窓に石を飛ばすためにパチンコを使った。
projection（名詞）の意味と使い方
名詞になった「projection（プロジェクション）」は上にあげた動詞の意味がそのまま名詞になるので、意味が幅広いです。
まず映画や映像などの「投影・映し出すこと」の意味がそのまま名詞になります。
There was a problem with the movie’s projection. It was upside down.
映画の投影にトラブルがあった。逆さまだった。
He is a famous projection mapping artist.
彼は有名なプロジェクション・マッピングのアーティストだ。
また「予測・予想」といった意味でビジネス用語としても使われます。predictionと似たような意味です。
Our sales projection for next year doesn’t look good.
私たちの来年の売り上げ予測はよくなさそうだ。
自分の想いや人生などを「投影」することの意味でも同じく名詞になります。重ね合わせることです。
Projection is one way that people deal with uncomfortable emotions.
投影は人々は不快な感情を処理するための１つの方法だ。
最後に「突き出たもの」といった意味でも使われることもあるかもしれません。
There was a strange projection from the building, but it was too high up to see what it was.
建物から奇妙な突き出たものがあった。しかし、それが何か見るには高すぎた。
この使い方は日常ではあまり使いません。何か突き出たものがあるならば、それは「パイプ（pipe）が突き出ている」と具体的にいうケースが圧倒的だからです。何かわからないけれど、突き出ている物体があれば使うこともあるかもしれません。
projectの名詞での意味
もう１つの名詞ではよく知られる「計画・プロジェクト」の意味でのprojectです。ある特定のゴールを持った計画された活動です。
He is responsible for this project.
彼はこのプロジェクトの責任を負っている。
This project is a snap.
このプロジェクトは超簡単だ。
He has lots of little projects around the house that he does on weekends.
彼は週末に家の周辺でやる小さなプロジェクトがいっぱいある。
The government’s project to provide free breakfast in schools was successful.
政府の無償で学校に朝食を提供する計画は成功した。
北米の公営住宅
たまに北米のスラングで安い公営住宅を指すことがあります。
The movie follows his life from growing up in the projects to becoming a superstar.
その映画は彼の公営住宅で育ってからスーパースターになるまでを描いている。
おそらく政府が計画して建てた住宅だからだろうと思います。
