score（スコア）はカタカナでも使われる「得点、点数」の意味以外にも、動詞では「手に入れる」といったちょっと難しいものを手に入れる動作を表すこともできます。
楽器屋では「バンドスコア」「ピアノスコア」といった楽譜が売られているように、「楽譜、譜面」の意味もあり、そこから「movie score（映画音楽）」のような使い方もされます。
さらに「a score of」で「20個の、20の」といった意味もあります。これはダースが12であるのと同じような関係で、20個の何かに対して使われます。
score（得点、点数）の使い方
名詞ではカタカナで「スコア（得点、点数）」がよく知られていますが、動詞でも使え「点数を取る」を意味します。
He scored two points in the second half of the game.
彼はその試合の後半で2点を取った。
No one scored during the entire game.
その試合全体で、誰も点数を取れなかった。
辞書には「刻んで印をつける」の意味もありますが、これも点を取ったことを目印にしている行為からです。
You should score the wood before you cut it.
切る前に、木に目印を入れるべきだ。
手に入れる
また手に入れるのに労力がかかるような、良いものを手に入れたときにもよく使われます。これも「点を取る」の延長にあるようなことです。
I scored tickets to the concert.
コンサートのチケットを手に入れた。
The movie scored two Academy Awards.
その映画はアカデミー賞を2つ獲得した。
score points with
誰かに好かれるように何かをすることで「点数を稼ぐ」といった意味です。
He scored points with the boss by coming to work early every day.
彼は毎日早くに職場にくることで、上司の評価を得ていた。
楽譜・楽曲
scoreには「楽譜」といった意味もあります。楽器店などでは「バンドスコア」のようにヒット曲を楽譜にしたようなものが売られています。
I bought the piano score for Taylor Swift’s Shake It Off.
私はテイラー・スウィフトの『シェイク・イット・オフ』のピアノの楽譜を買った。
そこから動詞で特定の目的で「楽曲を書く」「音楽を書く」や、名詞で「楽曲」といった意味でも使われます。
John Williams composed many movie scores.
John Williams scored many movies.
ジョン・ウイリアムズは多くの映画音楽を作曲した。
Who scored this film?
この映画の音楽は誰が作った？
単純に作曲をするといった感じではなく、映画などのために依頼されて楽曲を提供するような特定の音楽制作に使われます。
したがってクラシック音楽なら違和感はありませんが、ポップソングを自分で歌うために作曲するようなケースにはあまり雰囲気が合いません。
Beethoven scored Ode to Joy.
ベートーベンは交響曲第9番を作曲した。
Taylor Swift scored Shake It Off.
（理屈は間違いではありませんが変です）
映画音楽などにも「score」が使われますが、単なる作った曲が映画に使われた、テーマソングになったという話ではなく、映画のために作られて映画の一部分を構成するような曲を指して使われます。
エアロスミスが映画『アルマゲドン』の主題歌をヒットさせましたが、ああいうのも単に曲が映画に使われているだけで「score」とは言わないだろうという意見です。
a score of（20）
スコアには数字の「20」の意味があります。これはdozen（ダース）が「12」を意味するのと同じ考え方です。日本人にはあまりなじみのない単位です。
なぜscoreが20を指すのかは諸説あるようですが、昔の羊を数えることに由来する説があり、手足の指の合計ではないかという話がありました。古くから使われている単位です。
There is a score of people at the party.
パーティーに20人の人々がいる。
There is a score of pigeons outside my house.
家の外にハトが20匹いる。
理屈では「20」ですが、上のような表現を聞くと「だいたい20人 / 20匹」ぐらいには感じるそうです。
そもそも20とはっきりわかっているならばtwentyといえばいい話なので、あえて「a score of」を使わないといけない理由もありません。
有名なリンカーンの『ゲティスバーグ演説 / Gettysburg Address 』も以下の言葉で始まっています。
Four score and seven years ago…
87年前…
scores of（たくさんの）
a score ofが「20」を意味し、scores of が「たくさんの、いっぱいの」を意味することになります。特に20の倍数でないといけないわけではありません。
There are scores of pigeons outside my house.
家の外にハトがいっぱいいる。（感覚的に100匹ぐらい）
He wrote scores of hit songs.
彼は多くのヒット曲を書いた。
もともと12と20の差があるように、dozens ofも「たくさんの、いっぱいの」の意味がありますが、scores ofのほうが感覚的に大きく感じるという意見です。
