結論から書けば「心温まる」は英語では「heartwarming（ハートウォーミング）」だと考えられます。見ていて優しい感情になれるような物語・ニュースなどを描写するときに使います。
日本では「heartful（ハートフル）」といった表現が見られますが、英語圏ではほぼ使われていない古い英語、和製英語に近いものだと考えられます。
ほかにも「full of heart（根性がある）」や「heartfelt（心からの）」といった似たような言葉があるので違いなどを整理しています。
heartwarmingの意味
一般的に日本語の「心温まる」は英語では「heartwarming（ハートウォーミング）」だと考えて問題はないと思います。言葉の構造としても同じです。
ニュースや映画などで優しい気持ちになれるようなもの、ほっこりするようなものに対して使う表現です。
We watched a heartwarming movie.
私たちは心温まる映画を見た。
That is a heartwarming gift idea.
あれは心温まるギフトのアイデアだ。
It’s a heartwarming movie.
それは心温まる映画だ。
heartful（ハートフル）という単語は存在するのか？
たまにカタカナで「heartful（ハートフル）」といった表現が見られますが、これは英単語として存在していないと思ってもいいかもしれません。
ハートがいっぱいのような意味では成立はしており、古い英語には言葉としてあったそうですが、今では英単語として使われていない感じです。
ネットで検索すると「heartful」は登場しますが、日本人が使っている和製英語ぎみの言葉か、もしくは古い英語としてかろうじてひっかかるぐらいです。パソコンの校正機能でも赤線で間違いではないかと警告されます。
言葉としては「hurtful（有害な、傷つける）」と混同しやすい発音です。
The other children called him hurtful names.
ほかの子供たちは彼を傷つける名前で呼んだ。
He made a hurtful comment.
彼は有害なコメントをした。
He made a heartful comment.
（現代では使わない言葉）
発音の違いを確認するために音声ファイルを置いておきます。
heart【hɑ́ːrt】
hurt【hə́ːrt】
「heartful（ハートフル）」が何か？ といった問題もありますが、おそらく上にあげたheartwarmingの意味ではないでしょうか。
full of heartの意味
「full of heart」といった表現は存在しており「根性がある、気持ちが強い」みたいな意味です。
He is weaker than the other fighters, but he is full of heart.
彼は他のファイターより弱いが、根性はある。
We need someone who is full of heart to help us with this problem.
我々はこの問題を助けてくれる根性がある人が必要だ。
heartfeltの意味
heartfeltは「心からの」で、英語ではsincereに近い意味です。
I gave her my heartfelt thanks.
私は彼女に心から感謝した。
That is a heartfelt gift idea.
あれは心からのギフトのアイデアだ。
