purposeは「目的、目標、狙い」といった意味で名詞として広く使われています。動詞での使い方もいちおうあるといった程度です。ほかに関連語として「on purpose（わざと、意図的に）」「purposely（わざと、意図的に）」「repurpose（別の目的で使う）」といった表現もあるので整理しています。そんなに難しい使い方がされているわけではありません。
purposeの意味と使い方
まず、名詞で「目的、意義」という意味があります。行動の理由だったり、何かが存在する理由のことです。
The purpose of his research is to find a cure for cancer.
彼の研究の目的はがんの治療法を探すことだ。
The main purpose of this knife is to cut fruit.
この包丁の主な目的は果物を切ることだ。
また、目的を達成する上での「決意」という使い方もあります。方向性を示して道標となるものです。
The story gave her a new sense of purpose.
その話は彼女に新たな目的意識を与えた。
He has no purpose in life.
彼には生きがいがない。
具体的なニーズ、需要を表す「用途」としても使えます。
A compact car is good enough for my purposes.
小型車は私の用途では十分です。
He wanted a receipt for tax purposes.
彼は税金の用途で領収書が欲しかった。
with the purpose of
「with the purpose of」は熟語というか、そのままの意味で「～という目的で」となります。
I drove to Tokyo with the purpose of looking for a job.
仕事を探す目的で私は東京まで自動車でいった。
I bought a computer with the purpose of making spreadsheets.
スプレッドシート作成のために私はパソコンを買った。
動詞の「purpose」
一部の辞書によると厳密には「purpose」は動詞だそうですが、そのように使われることはほとんどありません。辞書にも動詞としての例文は載っていないものが多いです。
意味としては「意図する、決意する」といったものがあります。
△ The newspaper claimed that the mayor purposed the death of his mistress.
新聞は、市長が彼の愛人の死を目論んだと主張した。
間違いではないと思いますが、あまり見ない表現です。動詞では最後に紹介する「repurpose」があります。
on purpose（わざと、意図的に）
on purposeは偶然ではなく故意であることを意味する表現です。
I think he’s always late to meetings on purpose.
彼はいつもわざと会議に遅れているのだと思う。
She lost the game on purpose.
彼女はわざと試合に負けた。
ほかにもintentionally, deliberatelyなどが同じ「わざと、故意に、意図的に」といった意味です。悪意があるかどうかは文脈次第です。
on purposeは位置が少し変わりますが同じことが表せます。
He intentionally hit my car.
He hit my car on purpose.
He deliberately hit my car.
彼は意図的に私の車に当たった。
purposely
purposelyも意図的に、わざとであり「on purpose」と同じです。
He purposely broke the lamp.
彼は意図的にランプを壊した。
I purposely left my phone at home so I wouldn’t be bothered.
私はわざと家に電話を置いてきたので、邪魔されないだろう。
repurpose
purposeは動詞ではあまり見られませんが、「repurpose」は動詞で、新しい用途を見つけることです。
The bowling alley was repurposed as a Super Tamade.
そのボウリング場はスーパー玉出として転用された。
The city had several plans for repurposing the Olympic Village.
市にはオリンピック村の転用のためにいくつかの計画があった。
