bidをおそらく最も聞くのはオークションなどの場面での「入札する」という意味です。名詞ではそのまま「入札価格」も意味します。また何かの勧誘などの呼びかけに対しても使われます。
それとは別に「bid farewell」で別れを告げるといった使い方もあります。これは別れだけではなくさまざまな挨拶全般に使うことは可能です。
しかし、文章・文語表現であり、口に出して発声される機会は少ないかもしれません。けっこう古臭い英語になっていますが、特定の場面では登場する可能性があります。
オークションについては『auction（オークション）の意味と使い方』もご覧ください。
bid（入札する）の意味と使い方
入札することは動詞でbidを使います。これは過去形、過去分詞とも同じでbidのまま変化しません。また名詞では「入札価格」そのものを指して使われます。
I bid on a painting at the auction.
私はオークションで絵画に入札した。
Several contractors are bidding on the construction of the Olympic Stadium.
いくつかの建設会社がオリンピックスタジアムの建設に入札している。
I found an interesting shirt on eBay so I bid on it.
私は面白いシャツをイーベイで見つけたので入札した。
The winning bid was $2 million.
落札価格は200万ドルだった。
I wanted that sports car, but I was outbid by a Saudi prince.
私はあのスポーツカーが欲しかったが、サウジの王子に高値をつけられた。
I bid on the Chinese vase but lost to a higher bidder.
中国の花瓶に入札したが、より高い入札者に負けてしまった。
outbidもオークション用語で「～より高い値を付ける」の意味です。
もし入札するかどうかわからないけれど、オークションというイベントに参加するならば普通にgoでいいのではないかという話です。扱いとしてはpartyなどと同じです。
I’m going to go to an auction.
私はオークションに行く予定だ。
案内・勧誘・試み
辞書には名詞で「（入会などの）案内、勧誘」で掲載があります。
口語表現で細かなルールがあるわけではありませんが、その後に何か投票や決めることがある場合の案内・呼びかけに使われます。したがって単純な物の売買などには使われません。
名詞、動詞のどちらでも使われます。
Your Name made a bid for the Oscars but failed.
『君の名は。』はアカデミー賞への呼びかけを行ったが失敗した。
Hilary Clinton’s bid for president failed.
ヒラリー・クリントンの大統領への呼びかけは失敗した。
Osaka is bidding to host Expo 2025.
大阪は2025年の万博主催への呼びかけを行っている。
In a bid to
「案内、勧誘」の延長にあたりますがbidには「attempt（～しようと努力する、～を試みる）」に近い使い方があります。
「呼びかけ」の延長・派生にあたると考えて、上の「案内、勧誘」の例文も「試みている、試み」と考えても意味は成立します。（成功するかわからないけれど）何かをしようとすることです。
「In a bid to」で～を試みてといった意味になります。
In a bid to win his boss’s favor, Ching worked late every night for a month until the project was finished.
ボスに気に入られるように試みて、チンはそのプロジェクトが終わるまでの1ケ月間、毎晩遅くまで働いた。
bid farewell（挨拶）
bidは非常にフォーマルで古い英語で「（挨拶・別れなどを）述べる、告げる」という使い方があります。言い換えると挨拶に限定した「say」です。
「bid farewell（別れを言う）」がまだ見かけますが、挨拶なら全般に対して使うことはいちおう可能です。
He bid her good evening and went home.
彼は彼女にこんばんはと告げ、家に帰った。
上の文章は少しフォーマルですがまだあり得る表現です。三人称で「He」や「She」を主語にする形です。3人称で誰かがそういったと伝えるケースでの描写です。
しかし「I」を主語にした形が、かなり古臭くなっています。現在で「I bid」の形で使うとジョークにしか聞こえないといった意見でした。
I bid you good morning, fine sir!
（おはようございます、の意味）
ニュースで銀行が印鑑を廃止する見出しで登場しています。
Banks bid farewell to hanko
銀行がハンコに別れを告げる
入札するとの関係ですが、おそらく英語のかなり古い段階で別々の言葉が混ざってしまった、勘違いされた可能性があり、それがそのまま使われるようになった話があります。
