nodは首や頭を縦方向に振ることであり「うなずく」といった意味です。そこから名詞ではうなずくことによる「承認・同意」といった意味でも使われます。
首を縦に振ることは「YES」を意味する傾向があるのは間違いありませんが、100％断言できるとまではいわないので文脈や表現に気を付けてください。
またnod offの形で首・頭を縦に振る様子から「うとうとする、こっくりこっくりする」といった意味でも使われます。
うなずく、首を縦にふる
nodは基本的にはうなずく、首を縦に軽く振ることです。
She nodded in agreement.
彼女は同意してうなずいた。
He gave the captain a nod to start the boat.
彼はボートを発進させるため船長にうなずいた。
首を縦に振る・首を横に振る
nodが縦に首・頭をふる、うなずくことだとするならば、shake one’s headが首・頭を横にふることだといえます。
日本の文化と同じで縦に振れば「YES」、横に振れば「NO」ですが、書き方や文脈次第で少し変わるので100％断言まではできない感じです。
I asked him to go skydiving but he shook his head.
私は彼にスカイダイビングに行くように頼んだが、彼は首を横に振った。
I asked him to go skydiving and he nodded his head.
私は彼にスカイダイビングに行くように頼んだら、彼は首を縦に振った。
上の２つの文章はそれぞれ「たぶんNOだと思う」「たぶんYESだと思う」ぐらいで、本当にそうなのかはちょっとはっきりしません。
以下の例文も同じように曖昧さが残ります。
I asked him to go skydiving, but he just nodded his head.
私は彼にスカイダイビングに行くように頼んだが、彼はただ首を縦に振った。
I asked him to go skydiving and he nodded his head enthusiastically.
私は彼にスカイダイビングに行くように頼んだら、彼は熱狂的に首を縦に振った。
justがつくと反応がないみたいで「ただ首を縦に振るだけだった」であり、enthusiastically（熱狂的に）なら「うんうん！いくいく！」みたいな感じにもなります。
承認・合意
またうなずくことは何かへの承認、同意などを表すことができます。この場合は名詞での使い方になります。
The board of directors gave a nod to his proposal.
ディレクターの委員会は彼の提案に承認を与えた。
I’m waiting for the nod from the CEO before beginning the project.
プロジェクトを開始する前に、CEOの承認を待っている。
Many people think he will get the nod to become the captain of the team.
多くの人々は彼はチームのキャプテンになる同意を得るだろうと考えている。
映画のアカデミー賞のnod
アカデミー賞のノミネートも会員の同意があってノミネートされることから、nodはアカデミー賞用語といっていいぐらい、アカデミー賞関係のニュースに登場します。
This award was his fourteenth nod from the Academy.
この賞は彼の14回目のアカデミー賞の受賞だった。
The Best Picture nod went to Rain Man.
作品賞は『レインマン』に贈られた。
アカデミー賞の審査委員がうなずいて同意したイメージです。実際は投票による決定だと思うので全員がうなずいたわけではないと思いますが慣用的な表現で、無理に日本語に訳す必要もないのかもしれません。
敬意・リスペクト
先に紹介した「承認・合意」は立場が上の人から「お墨付きをもらう」といった意味でわかりやすいです。次の例文も「認められる」といったニュアンスです。
The contestant got the nod from the judges on the talent show.
タレント番組（才能を披露する番組）でその参加者は審査員から承認・同意を得た。
この延長で立場に関係なく「リスペクト・敬意」みたいな意味でも使うことができます。日本語でぴったり合う言葉がありませんが、尊敬・賛同・敬意を込めた行為だといった意味です。
The character’s name is a nod to Moby Dick.
そのキャラクターの名前は『白鯨』への敬意だ。
あるキャラクターが名作の『白鯨』をリスペクトしたような造形・名前だったといった意味です。
The Mars rover has a piece of the Wright Bros. plane as a nod to aeronautical science.
火星探査機はライト兄弟の飛行機のかけらを、航空科学への尊敬・賛同として、持っている。
NASAの火星探査機は、人類で初めて飛行機を飛ばしたライト兄弟の飛行機のパーツを持っています。これも「承認・同意」というよりも「敬意、尊敬、オマージュ」のような意味合いです。
nod offの意味と使い方
首を縦に振る動作からこっくりこっくりする、うとうとすることを意味します。自分が意図せずに眠るような眠りの導入です。
この場合の意味だけoffをつけることができますが、offがなくてもかまいません。doze offなども近い意味です。
She was nodding off on the train.
彼女は電車で眠っていた。
He decided to stop watching the movie because he was beginning to nod off.
うとうとし始めていたので、彼は映画を観るのをやめることを決めた。
