hingeとはヒンジ、蝶番（ちょうつがい）のことで、ドアの開閉などを行うためによく使われる工具の１つです。これが文字通り工具を指して使うケースのほかに、比喩的に使われます。
重要なパーツではあるので、「～次第である、～で決まる、～にかかっている」といった動詞で用いられることがあります。
また形容詞のunhingedは留め金のヒンジが付いていないという意味のほかにも、精神的に不安定な意味合いで使われます。工具ではあるものの広い意味で使われる言葉だといえます。
hinge（ヒンジ、蝶番）
hingeとはヒンジ、蝶番（ちょうつがい）のことでドアを開閉できるようにとりつける金具です。単純に工具としてのヒンジの意味で登場するケースももちろんあると思います。
I bought a new hinge for my cupboard.
私はカップボードために新しいヒンジを買った。
One of the hinges on my front door needs oil.
フロントドアのヒンジの１つがオイルがいる。
hinge onの意味と使い方
非常に重要なパーツのため「～次第である、～で決まる、～にかかっている」といった意味の動詞です。
過去形・過去分詞はそのまま「hinged」です。
The results of this election hinge on how minorities voted.
この選挙の結果はマイノリティがどう投票するかにかかっている。
The outcome of this game will hinge on whether the star player has recovered from his injury.
このゲームの結末は、そのスター選手が怪我から回復しているかどうかによるだろう。
unhinged
unで否定した単語なので「留め金のついていない、ヒンジのついていない」といった不安定なものを表す言葉です。
これも文字通りの物理的な意味と比喩的な使い方をわけて考えてもいいかもしれません。
The door to the bathroom stall was unhinged.
トイレの個室のドアの留め金が外れていた。
My cupboard became unhinged.
食器棚の留め金が外れた。
上は物理的な意味での例文ですが、そこから転じてぐらついた感じの「取り乱した、狂った、狂気の、錯乱状態の」といった精神状態を表す意味にもなります。
確認してみると「crazy」とまではいかなくて、普通でない不安定な状態を指します。このあたりの日本語訳のさじ加減は非常に難しいところです。
The tragedy left many people unhinged.
その悲劇が多くの人々を不安定にさせた。
His plan was so revolutionary, people are calling him unhinged.
彼の計画はとても革命的だった。人々が彼を狂っていると呼んでいる。
しかし逆の意味の「hinged」にはヒンジで連結したといった意味はありますが、がっちり安定しているといった使い方が存在しません。
