hang outとhang aroundは近い意味で「ぶらつく」といった意味で使われています。特に何もせずに、ぶらぶらする漠然とした動作です。
２つの表現はどちらを使っても意味としては重なる部分も多いので置き換え可能な場合もありますが、厳密にはイコールでは結べない違いがあります。
ネイティブスピーカーにヒアリングを行ったので１つ１つ例文付きで使い方をご紹介します。
ぶらぶらすることについては『「ぶらぶらする」を英語でどう言うか？』もご覧ください。
hang outの意味
hang outはこれといった特別なことをせず、リラックスしながら時間を過ごすようなことを指します。大人にしか使わないので、子供が公園で遊ぶようなことには使いません。
グダグダ飲んだり、買い物をしたり、話の中で特にその行動が重要ではなくさらっと流すような場合などに登場します。重要なことならば具体的な動作（飲みに行った、買い物をした）で表現するはずです。
だからといってhang outは退屈しているわけではなく、特に何もしないことを楽しんでいる感じですね。人間に対して使うことが多いですが、動物に使ってはいけないわけでもありません。
I like to hang out with my friends on the weekend.
週末に友達とぶらぶらするのが好きだ。
A bunch of teenagers always hangs out at that store.
たくさんの十代がいつもあのお店でぶらぶらしている。
He can be found hanging out at the convenience store.
コンビニでぶらぶらしている彼が見つかるよ。
hang aroundの意味
hang aroundは同じく特に何も特別なことをしていないのは同様ですが、こちらは一つの場所に留まっているニュアンスを伴います。「たむろする」と考えても近いと思います。こちらは人間以外の動物にも普通に使えます。
I hung around the book store while my wife shopped for a dress.
妻がドレスを買う間、私は本屋でぶらぶらしていた。
There are a lot of cats hanging around the river.
多くの猫が川でたむろしている。
He can be found hanging around the convenience store.
コンビニでたむろしている彼が見つかるよ。
何かしらの事情があって、その場に意図的に留まっているような感じが文章から感じられます。
違いが出る場合
基本的には同じ意味ですが、先に書いたように「around」には留まっているニュアンスがあります。また「out」には楽しむようなニュアンスが入っています。
どこの場所をうろうろするかを指す場合には、aroundには前置詞の「at」が必要ありません。
We spent all day hanging out at the mall.
We spent all day hanging around the mall.
私達は１日中、モールでぶらぶらしていた。
上のような文章の場合だと、その差はあまり感じられません。しかし、以下のような会話になった場合には少しニュアンスが異なります。
①Do you want to hang out?
②Do you want to hang around?
①はぶらぶらしたい？と質問しています。②になると、その場で留まって何かを待つように感じられます。
もう少し会話らしい表現になるとより明確になります。
③Tom’s late again, so let’s just hang around for another ten minutes.
トムがまた遅刻だ。じゃあ、もう10分、ぶらぶらしようか。
③の場合には明確にその場・周辺にいて「待つ」というニュアンスが強くなります。
④Tom’s late again, so let’s just hang out for another ten minutes.
トムがまた遅刻だ。じゃあ、もう10分、ぶらぶらしようか。
④は日本語にしてしまうと同じになりますが、もう10分ぶらぶらすることを楽しんでいるかのようにニュアンスとして伝わる可能性があります。
⑤There are a bunch of moths hanging around the street light.
大量の蛾が街灯にむらがっている。
⑥There are a bunch of moths hanging out at the street light.
（この表現はおかしい）
⑥は蛾が楽しんでいるかどうかなどわからないので、少し変な表現になってしまいます。
hang-out（名詞）
hang-outは特定の人々がぶらぶらする場所として名詞でも使うことができます。日本語にすれば「たまり場」のような感じでしょうか。
This shop is a popular hang-out for men.
このお店は男性に人気のハングアウトだ。
That group of friends chose the cafe up the street as their hang-out.
あの友人のグループは、道路の先にあるカフェを彼らのハングアウトに選んだ。
