wonderは疑問に使いますが、疑問文の文法、形にならないのが特徴です。
wonderだけでも用いることができますが、よくwhetherやifを後ろにともなうことも多いです。
ネイティブスピーカーに作ってもらった例文と共に使い方をまとめています。
wonderの使い方
wonderは日本語にすると「～かどうかと思う、～を知りたいと思う」などの訳になります。
疑問文の形になっていませんが、遠い言い回しによる丁寧な疑問文だともいえます。
What is his name?
=I wonder what his name is.
お名前はなんですか？
Where does this beer come from?
=I wonder where this beer comes from.
このビールはどこ産ですか？
How old is the sun?
＝I wonder how old the sun is.
太陽は何歳？
wonder if / whether
もしその疑問が二者択一のような限定された回答、YES/NOで答えられるものならば、”if”や”whether”を使うことができます。
Does he want a new jacket?
=I wonder if he wants a new jacket.
=I wonder whether he wants a new jacket (or not).
彼は新しいジャケットがほしいかな？
Will she marry me?
=I wonder if she will marry me.
=I wonder whether she will marry me (or not).
彼女は結婚してくれるかな？
Does she want the chicken or the steak?
=I wonder if she wants the chicken or the steak.
=I wonder whether she wants the chicken or the steak.
彼女はチキンとステーキどちらがいいのか？
ifはかなり丁寧な疑問、物事を遠回しに頼むようなことに対して用いられることが多いです。
I was wondering if you could lend me some money.
お金を貸してくれないだろうか？
～に感嘆する、驚く
辞書にはこの意味での掲載がありますが、この「驚く、感嘆する、驚嘆する」の意味での動詞はほとんど使わないそうなので無視していいと思います。
Wonderland（おとぎの国、不思議の国）やアメコミのWonder Womanなどの、形容詞で「驚嘆すべき、驚くべき」の使い方は存在しています。
whetherとifの違い
「～かどうか」の意味で、どちらも同じような意味になるケースもあります。
I don’t know whether she is happy.
彼女が喜んでいるかどうかわからない。
I don’t know if she is happy.
彼女が喜んでいるかどうかわからない。
しかしながら、whetherは二択ですが、ifは二択にも使えますが二択以上の可能性を含んだ上での表現を意味することができます。
I don’t know whether she is happy or tired.
彼女が喜んでいるか疲れているかわからない。
I don’t know if she is happy or tired.
（怒っている、驚いているなどの状況も想定している）
I want to know whether she will come this week or next.
彼女が今週に来るか、来週に来るかを知りたい。
I want to know if she will come this week or next.
（３週後やそもそも「来ない」も想定している）
whetherは二択になりますが、ifのほうが幅広いので、このあたりを意識して使い分けると会話が豊かになります。
wander
スペルが似ていますがwanderは「さまよう、さまよい歩く、ぶらつく」などの意味なので、まったく違います。
発音を貼っておきます。
wander【wɑ́ndər】
wonder【wʌ́ndər】
He let the robot wander around the room.
彼はロボットを部屋の中でぶらぶら歩かせた。
このwanderを使ったwander awayとwander offの使い方の違いを中心に、off/awayの離れるニュアンスの違いをまとめた記事があります。
