rudeとimpoliteは「無礼な、無作法な」といった意味で基本的には同じような使い方ができます。置き換えても問題ないケースも多いです。
しかしrudeのほうが意図的、わざと攻撃的であるといったニュアンスが出る場合があります。例文を比較して取り上げているので使い分けの参考にしてください。
それぞれ反対の意味としては「polite（礼儀正しい）」がありますが、これは『polite（丁寧・礼儀正しい）の意味と使い方』にまとめているので合わせて読んでください。
rudeの意味と使い方
不快なほど失礼なことで「無礼な、無作法な、失礼な」を意味します。
It is rude to wear shoes inside a house in Japan.
日本では家の中で靴を履くのは無作法だ。
He was very rude to his boss, so she fired him.
彼は上司にとても無礼だったので、彼女は彼を解雇した。
概念としてrude（不作法・無礼）とgentle（優しい）が同時に存在することができます。言葉遣いやマナーはひどいけれど優しい人はいます。
一方でrudeだけれどpoliteな人は概念として存在することができません。これについては以下のpoliteの記事にまとめています。
crass
crassもrudeのことです。意味としては同じで、rudeのほうがよく使われます。
The mayor was elected again despite his crass remarks.
無礼な発言にもかかわらず、その市長は再選した。
His friend is very crass.
彼の友達はめちゃ失礼だ。
rudeとimpoliteの意味の違い
rudeとimpolite（無作法な、失礼な）はほぼすべてのケースで置き換え可能です。
まず以下の例文はどちらでも可能なケースです。意味や伝わり方としては同じです。
It is rude to wear shoes inside a house in Japan.
It is impolite to wear shoes inside a house in Japan.
日本では家の中で靴を履くのは無作法だ。
しかしrudeはわざと意図的に、より攻撃的な意味を含むことが時々あります。
次の例文「彼はいつも同僚にrude/impoliteなジョークを言っている」だとニュアンスが変わってきます。
He is always telling rude jokes to co-workers.
彼はいつも同僚にrudeなジョークを言っている。
He is always telling impolite jokes to co-workers.
彼はいつも同僚にimpoliteなジョークを言っている。
rudeは性的な、あるいは人種差別的なジョークなどを指します。impoliteも可能な表現ですが、このような攻撃的な冗談に対してはrudeがかなりふさわしいです。
店員に対してrude/impolite
もう一つ例文をあげておきます。impoliteはpoliteを否定した言葉なので「礼儀正しくはない」と考えられるのに対して、rudeはより「offensive（攻撃的）」であるといえます。
意味は「彼女はそのウェイターにとてもrude/impoliteだった」です。
She was very rude to the waiter.
She was very impolite to the waiter.
店員に対してrudeはおそらく彼女は意図的にウェイターを攻撃するために何かをしたと読めます。例えばウェイターを侮辱したなどの行為です。
一方、impoliteを使うとウェイターに対して当たり前にするような礼儀を忘れていた、例えば注文の際に「please」を言い忘れたなどのケースだと感じられます。impoliteはマナーやエチケットの問題だともいえます。
動詞ではmisbehaveやact upに「無作法にふるまう」といった意味があるので合わせてご覧ください。
