have nothing to do withは「～と関係（関連）がない」の意味で、言い換えると「have no connection with」ともいえます。

シンプルに何かと何かが関係ないことを伝えることができます。少し変化させて疑問文にすることも可能です。

使い方については例文を参考にしてください。嫌味っぽく聞こえますが、文章そのものに特に皮肉の意味があるわけではありません。

have nothing to do withの例文

以下の例文のように使うことができます。少しバリエーションがあり、順番を入れ替えても意味は同じままで成立します。

This argument has nothing to do with you.
= You have no connection to this argument.
この論争はあなたとは関係がない。

I have nothing to do with the accounting at this company.
= I have no connection to accounting at this company.
私はこの会社の会計とは関係がない。

以下の例文のように順番を入れ替えても成立します。

I have nothing to do with the accounting.
= The accounting has nothing to do with me.
私は会計とは関係がない。

日本語にしてしまうと嫌味っぽく聞こえてしまいますが、必ずしも責任の所在を追及しているような話ではなく、影響があるかどうかといった広い意味も含めて、何かしらの「関連がない」といっています。

応用した形

少し応用した形で、疑問文などに変化させて使うことができます。

What does A have to do with B?
= What is the connection between A and B?
AとBにどんな関係があるの？

以下のような例文が作れます。

What does the war in the Middle East have to do with me?
= What is the connection between the war in the Middle East and I?
中東の戦争と私にどのような関係があるの？

What does cleaning have to do with making sushi?
= What is the connection between cleaning and making sushi?
掃除をすることと寿司を作ることにどのような関連があるの？

文脈や言い方にもよりますが少し嫌味のようにも聞こえるかもしれません。

しかしこの表現そのものは特に遠回しな嫌味を表現しているわけではなく、純粋に関連を質問をしているケースが多いです。

have everything to do with

こちらは「強い関連がある」といった意味で「have a very strong connection with」と言い換えが可能です。

This problem has everything to do with you.
= You are really connected to this problem.
この問題はキミに深い関わりがある。

something / anything

当然、これはsomething / anythingに置き換えて「何か関連がある」といった文章になります。

This problem has something to do with you too.
この問題は君にも関連がある。

この上の文章の場合も、必ずしも問題を引き起こしている原因が君にあると言っているわけではなく、問題が起こった結果が君にも良い悪い含めて影響があるといっているにすぎません。「関連がある」ぐらいの意味なので、実際にどのような関連があるのかはもう少し文脈が必要になりまう。

Does this have anything to do with me?
Does this have something to do with me?
これは私に何か関係がある？

こういった疑問文で使うこともできます。ここでのsomeとanyの違いは一般的なsome / anyの差であり、この熟語・構文に限ったものではありません。

somethingを使うと本人が「関係があると思っている」と質問しているのに対して、anythingを使うと「関係があるかわからない」と本人が感じている前提で質問しているニュアンスの差が生まれます。

実際のニュースから

実際のニュースでは「寿司職人になるのに長い修業が必要なのか？」といったテーマを扱った時に登場しました。寿司職人になるには掃除などの下積みをしなければならない伝統があって、老舗の寿司店では１年目は雑用で、寿司を握るには８年や10年かかるといわれていました。

これらは時代にあわないのではないかといった意見がありました。

The pros and cons of this system are being debated. Some say, “efficiency alone shouldn’t be the goal” while others argue “cleaning and chores has nothing to do with making sushi.”
この仕組みについては賛否両論がある。ある人は「効率だけを追い求めてはいけない」といい、他にも「掃除や雑用は寿司の技術とは関係ないよね」といった声もあがっている。