似たような使われ方をする言葉ですがネイティブの意見と例文を交えながら確認してみます。
一般的には以下の様な説明、使われ方が教科書などではされています。
both A and B
（AとBの両方）
either A or B
（AまたはBのどちらか一方）
neither A nor B
（AでもBでもない）
これだけならまだシンプルなのですが、notをともなったりすると少しややこしい感じがします。
例文とネイティブが読んだ時の受け止め方については、カナダ人のスティーブの意見をまとめたものです。
この記事の目次！
both A and Bの使い方
この場合は「AもBも両方とも」の意味になります。
I want both the fish and the steak.
（魚とステーキ、両方欲しい）
There are cameras on both the front and the back.
（カメラが前面・背面にある）
上の例文はスマホなどのカメラをイメージしてください。
either A or Bの使い方
「AかBのどちらか、AかBのどちらか一方」の意味になります。
I want either the fish or the steak.
（魚かステーキ、1つだけどちらか欲しい）
上の場合は魚か肉かどちらかほしいと思っていますが「両方でもいいかな」と感じるそうです。
There is a camera on either the front or the back.
（1つのカメラがあり、前面か背面のどちらか選べる）
Either my car or his car has a flat.
（私の車か彼の車、どちらかパンクしている）
Either car has a flat.
（どちらかの車がパンクしている）
Either has a flat.
（どちらかパンクしている）
neither A nor Bの使い方
「AもBも両方ない」の意味になります。
I want neither the fish nor the steak.
（魚も肉もいらない）
There are cameras on neither the front nor the back.
（カメラは前面にも背面にもない)
Neither my car nor his has a flat.
（私の車も彼の車もどちらもパンクしていない）
Neither car has a flat.
（どちらの車もパンクしていない）
Neither has a flat.
（どちらもパンクしていない）
neitherはnever、nothingなどと同じで、この言葉そのものに「ない」という否定の意味が含まれているので使い方に注意（notを同時に使わない）が必要です。
ネイティブスピーカーがneitherを使う時に、わざわざ「nor」を使わないことがけっこうあるそうです。ちょっと大げさ、ファンシーに響く感じがするようです。
I want neither the fish or the steak.
（＊魚も肉もいらない）
上のような表現をすることもけっこうあるとのことです。間違いというよりもあえてわざわざnorを言っていない感じもあって、どちらでもいい感じですが、文法的にはnorが正しいので試験関係ではご注意ください。
norの注意点
norそのものに否定の意味が入っているので、その後に続く文章も否定の意味になります。
I don’t like potatoes nor do I like peanuts.
この上の文章の場合、ポテトが嫌いであり、その後のピーナッツも嫌いといっています。
It is not a novel nor was it written by J.K. Rowling.
ハリー・ポッターの続編の舞台劇の脚本が発売された時に登場した表現ですが、小説でもなければ原作者のJKローリングが書いてもいない、の意味になります。
norの後ろにはnotがないので、否定文ではないように見えてしまう点には注意が必要です。
norの倒置
さらにnorの後ろは順番が入れ変わります。
likeやplayなど一般動詞が使われている文ではdo/doesが入り疑問文の形になります。
I don’t like potatoes nor do I like peanuts.
（nor+ do/does + 主語 + 一般動詞）
be動詞の場合は、be動詞が前にきます。
…nor was it written by J.K. Rowling
（nor + be動詞 + 主語）
助動詞が使われていれば、それも順番が入れ替わり疑問文の形になります。
I won’t vote for Trump, nor will I vote for Clinton.
（私はトランプにも、クリントンにも投票しないだろう）
文法書を見ても「倒置が起こる」としか書いていないので、何かしら理由があるのかもしれませんが、そういうルールなのでしょう。
not either A or B
notをともなうと以下のような解釈になるそうです。
I don’t want either the fish or the steak.
（魚も肉もいらない）
There aren’t cameras on either the front or the back.
（カメラは前面にも背面にもない)
not both A and B
同じくnotをともなったbothの表現です。
I don’t want both the fish and the steak.
（両方はいらない。たぶん1つだけならOKかも…）
There aren’t cameras on both the front and back.
（2つのカメラはない。おそらく1つはありそう）
