meet withは単に会うだけでなく、明確に何か目的を持って話し合うときに使われる表現です。一方のmeetは「会う」ぐらいの意味でかなり幅広い解釈が可能になってしまいます。
これらは時に置き換えても問題ないケースもありますが、置き換えると明確に指している内容が異なるケースもあります。例文を比較しているので参考にしてください。
日本語でも「昨日、深田恭子に会った」だけを言われても、それが約束して会ったのか？ 初めて会ったのか？ 街で見かけた程度なのか？ 話し合いをしたのか？ などの状況はよくわかりません。これと似たような状況がmeetを単独で使った場合にはネイティブスピーカーであっても起こります。
meetの使い方
meetそのものは「会う」という単純な単語なので、何を指しているのかは漠然とした部分も大きいです。基本的には「文脈」が最も重要で、文脈から何を指しているのかを判断します。したがって文脈がない短い文章ではネイティブスピーカーであっても解釈に幅が生まれます。
meetは「会う」ことですが、「初めて」会うことを意味するケースがけっこうあります。ただし、このあたりのルールは曖昧で２回目以降に会う場合にも使うケースもあり、何を指しているのかはやはり文脈が重要になってきます。
She likes going to foreign countries and meeting people.
彼女は外国に行って人に会うのが好きだ。
I met an interesting person on the subway.
私は地下鉄で面白い人に会った。
上の例文の場合はいちいち書いていませんが「初めて会う」という意味が含まれています。
また地下鉄の例文の場合は「会って何か話をしたりコミュニケーションがあったのか？」「ただ見かけただけなのか？」のはっきりしたことはわかりません。しかし、一方的に見かけただけならばsee（過去形：saw）を使うと思うので、meetを使っている時点で何かしらあいさつ程度のことは地下鉄の面白い人とあったのだろうと想像できます。
meetが「初めて会う」とするのは絶対ではないので２回目以降に会う場合にも使うことができます。
また「会う」が「何かを話し合うために一緒に会う」と「特に理由もなく偶然に会う、会って挨拶程度しかしない」のどちらにも使えます。
Let’s meet after work and talk about the project.
仕事のあとで会って、そのプロジェクトについて話しましょう。
上の例文の場合は「特定の目的、話し合うために会う」という意味が含まれてきます。プロジェクトの例文では同僚なので初回ではなさそうです。
次に紹介するmeet withに比べると、シンプルな単語ゆえに意味が広く解釈できてしまいます。
meet withの使い方
meet withになると「何かを話し合うために一緒に会う」という意味でだけ使われます。
I met with an interesting person on the subway.
私は地下鉄で面白い人と会った。
He met with his sister at her office.
彼は彼の姉と彼女のオフィスで会った。
上の文章の場合はおそらく約束などをしたうえで、何か話し合いをするために会ったのだと判断することができます。
例文を比べてみる
meetのみだと「何かを話し合うために一緒に会う」と「漠然と会う」の両方に使うことができます。
meet withは「何かを話し合うために一緒に会う」のみに使われます。
状況によっては置き換えても同じ意味になります。
I arranged to meet (= meet with) a lawyer for advice.
私はアドバイスを求めて弁護士に会う手はずを整えた。
この場合はarrange（手はずを整える）があり、弁護士にアドバイスを求めている時点で「話し合うために会う」という意味が濃くなります。このようなケースではどちらを使っても一緒です。
２年前に妻に会った
以下の文章は「２年前に妻に会った」となりますが、置き換えると変になるケースです。
I met my wife two years ago.
２年前に妻に会った。
上の例文の場合は高い確率で「初めて会った」の意味ですが、少し曖昧さも残ります。そこで以下のように書き換えることもできます。
I first met my wife two years ago.
２年前に妻に初めて会った。
これをmeet withで書くと変な文章になります。
I met with my wife two years ago.
（状況的に変な文章）
「妻と２年前に話し合うために会った、会談を持った」の意味になるので、そういう状況がありえなくもないですが変な状況です。
また以下の文章も置き換えることで意味が変わります。
This is the place where he met his wife.
ここは彼が妻と会った場所だ。
This is the place where he met with his wife.
ここは彼が妻と話しあった場所だ。
meetの場合はおそらく初めて会った場所を表し、meet withの場合は何かを話し合うために会った場所だということになります。
モノ・出来事に対して使う場合
しかしmeetとmeet withの違いが出るケースは人に対して使われる場合のみで、モノに対して使う場合にはどちらも同じ意味になります。
The soldiers met(= met with) resistance at the border.
兵士は国境で抵抗にあった。
The ship met with(= met) a terrible storm in the evening.
その船は夕方にひどい嵐にあった。
その他にもmeetは条件などに「合う」「合致する」のような使われ方もあるので以下の記事にまとめています。また偶然にばったり出くわすような表現もいくつかあります。
meet（名詞）とmeetingの違い
名詞でmeetといえばスポーツの大会の意味があります。meetingだとミーティングになるので意味が違います。
A track and field meet was held at the school.
学校で陸上競技会が開催された。
He got first place at the meet.
彼は大会で1位になった。
He got a prize at the meeting.
彼はミーティングで賞をもらった。
