play intoは辞書には単独では掲載がなく例文として「～の術中にはまる、思うつぼにはまる、付け込まれる」みたいな掲載があります。
多くは「play into the hands of」や「play into someone’s hands」の形で登場しますが、play intoだけでも見かけることがあります。
総合するとsupportのような意味なので使い方を例文に書いておきます。
play intoの使い方
結局のところ、play intoだけの日本語訳としては「（アイデア・考え・理論などを）助長する、手助けする」などの意味で、英語ではsupportのような意味になります。
その助長する、手助けするものが自分が好ましくないもの、自分が望まないものであるという話です。
His actions play into the stereotype that bankers are greedy.
彼の行動は、銀行員は強欲であるというステレオタイプを助長する。
上の例文は彼が横柄な態度をとったので、まわりの人が「やっぱり銀行員は強欲だ」といったイメージを増すことになったといった意味です。
The Avengers played into Zemo’s evil plan.
アベンジャーズはジーモの邪悪な計画を手助けしてしまった。
「陥った、罠にはまった」と考えても近いと思いますが、アベンジャーズの映画『シビル・ウォー』ではアベンジャーズのチームは仲間割れを起こします。映画では結果的に敵であるジーモの計画の手助けをアベンジャーズはしてしまったことになります。
I played into the lie that I was over 65 so I could get a seniors discount.
私は、私が65歳以上であるという嘘を手助けしたので、シニア割引を受けることができた。
上の例文は自分の妻が「うちの夫は65歳以上なんですよ」と嘘をついて、それにあわせる形で咳き込んでみたり老人の演技をして、手助けしたといった意味です。自分が嘘をついたわけではありません。
play into someone’s hands
「play into someone’s hands」や「play into the hands of 〇〇」のようなバリエーションはありますが、こちらは辞書に掲載があり「術中に陥る、術策に陥る、付け込まれる、有利にしてしまう、思うつぼにはまる」などの意味があります。
たいていは偶然にそうなってしまうことに対して使われ「〇〇の手を（誤って）助けてしまう」の意味となり、結果的に日本語で意訳すると「術中に陥る、罠にはまる」などの意味になってきます。
この表現は「誤って、偶然に」といった意味が色濃くなっている点が特徴です。
The leaking of documents played into the hands of Trump’s opponents.
文書の漏洩は、トランプの反対者たちを助けてしまった。
Pulling Tanaka in the third inning played right into the hands of the Cubs.
３イニングで田中を引っ込めたことは、まさにカブスの思うつぼだった。
強調の意味でrightが使われることがあります。
意訳して「術中にはまる」と覚えてもいいかもしれませんが、その訳で覚えるとニュース文などに登場する形に対応できなくなってしまいそうで注意が必要です。
play along (with)
これも同じく「助長する、助ける」の派生で「あわせる、ふりをする」みたいな意味になります。
The waitress thought I was 65, so I played along to get a discount.
ウエイトレスは私が65歳だと考えた。だから私は割引を得るためにあわせた。
I’m going to tell my wife I was late because of a meeting, play along okay?
私は妻にミーティングで遅れたと伝えるつもりだ。あわせてくれる？
